Transformada de una derivada

Además de las dos primeras propiedades necesitarás aplicar estas otras:
a) L{sen(wt)} = w/(s^2+w^2)
b) L{cos(wt)} = s/(s^2+w^2)
c) L{t cos(wt)} = (s^2-w^2)/(s^2+w^2)^2
d) L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)}
e) L{k*f(t)} = k*L{f(t)}
siendo que, w constantes.
Usando a) la ecuación quedaría
Ys^2-10s+4Y=2/(s^2+4)
Despejando Y nos quedaría
Y = (10s^3+40s+2)/(s^4+8s^2+16)
El proceso para hallar y es un poco largo pero los pasos a seguir serían los siguientes:
- Descomponer Y en fracciones simples:
resultado: Y = 10s/(s^2+4) + 2/(s^2+4)^2
- Usando d) nos basta con encontrar la antitransformada de cada sumando:
El primero se puede obtener usando b) y e) --> 10 cos(2t)
El segundo necesitamos expresarlo de otra manera
2/(s^2+4)^2 = 1/8 * 2/(s^2+4)  -  1/4 * (s^2-4)/(s^2+4)^2
de manera que aplicando a), c) y e) nos queda como --> 1/8 * sen(2t) - 1/4 * t cos(2t)
En resumen: la función que buscábamos es
y = 10 cos(2t) + sen(2t)/8 - t cos(2t)/4
Espero que sirva de ayuda aunque creo que algunos pasos son muy poco intuitivos.

Hola gracias por contestar pero me ha quedado una duda
ya fui resolviendo la ecuación con los pasos que me fuiste dando pero me través en la siguiente parte
Y= 10s^3+40s+2 / s^4+8s^2+16
No entendí muy bien como son los siguientes pasos ya que se supone que tengo que descomponer s^4+8s^2+16
Yo la descompuse de la siguiente manera 10s^3+40s+2/ (s^2+4)(s^2+4)
Pero después ya no se que hacer me podrías ayudar por favor gracias

Sí, la cuestión es la descomposición en cocientes simples:
Si enemos un cociente de polinomios P(s)/Q(s) con grado de P < grado de Q entonces, existe un teorema (de descomposición en cocientes simples) que asegura que este cociente se puede descomponer como una suma de cocientes donde los denominadores son potencias de los factores de Q y los numeradores son de grado 0 o 1 dependiendo de si el factor tiene grado 1 o 2. En nuestro caso tenemos solamente un factor irreducible de grado 2.
Más concretamente si P = 10s^3+40s+2 y Q = (s^2+4)^2 entonces sabemos que la descomposición tendrá la forma
P/Q = (As+B) / (s^2+4)  +  (Cs+D) / (s^2+4)^2
Para calcular A,B,C,D basta con realizar la suma de la parte de la derecha:
(As+B)(s^2+4) / (s^2+4)^2  +  (Cs+D) / (s^2+4)^2
(As^3+4As+Bs^2+4B+Cs+D)/(s^2+4)^2
y finalmente igualamos grado a grado los terminos del numerador resultante con los de P:
As^3=10s^3  --> A=10
Bs^2=0 --> B=0
(4A+C)s=40s --> 4A+C=40 --> C=0
4B+D=2 --> D=2

Hola muchas gracias me has ayudado  mucho pero me surgio otra duda cuando desarrollaste esta parte Y= 10s^3+40s+2 / s^4+8s^2+16
que paso con el 40s por que ocupas el 10s^3 y el 2 pero el 40s no lo ocupas por que?
De nuevo muchas, muchas gracias!