Ayuda con ejercicio de matemáticas para resolver y clasificar un sistema de ecuaciones

Hay un teorema que te permite discutir los sistemas de ecuaciones:
Antes de enunciarlo vamos a decir que es la matriz del sistema y la matriz ampliada. Imagina que tu sistema es de la forma AX=B donde A es la matriz de coeficientes de las incógnitas, POR el vector de incógnitas y B el vector de términos independientes, es decir lo que hay detrás del igual.
Así que la matriz del sistema es A y la matriz ampliada es A|B, es decir, a la matriz A le unimos la columna B.
El teorema de Rouche - Frobenius dice que si
- rg(A) = rg(A|B) = n, entonces el sistema es compatible determinado (n es el número de incognitas)
- rg(A) = rg(A|B) < n, entonces el sistema es compatible indeterminado
- Rg(A) <> rg(A|B), el sistema es incompatible, "<>" distinto
Aquí tienes un link con el Teorema
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/discusion_por_el_teorema_de_rouche.htm
El rango de nuestra matriz A no depende de QUE y es 2.
Por el contrario el rango de la matriz ampliada será dos si que = -3. Si es distinto a -3 entonces el sistema es incompatible.
Resumen:
- Si k = -3, sistema compatible determinado.
- Si que <> -3, sistema incompatible.
Te pongo los pasos de cálculo
Matriz A
3  -k  0
0   1  3
1   0  k
Operamos escalonando la matriz
1   0  k
0   1  3
0   0  0
Que como puedes ver el rango es dos. Vamos ahora con la matriz A|B
3  -k  0  3
0   1  3  6
1   0  k  5
Que escalonando la matriz llegamos a
1   0  k  5
0   1  3  6
0   0  0  6k+18
Entonces cuando 6k+18 sea igual a cero 0 el rango de A|B será dos, pero si es distinto de cero el rango será 3.
Ahora con esta última matriz podemos obtener las soluciones del sistema suponiendo que que = -3
tenemos la siguiente matriz
1   0  -3  5
0   1   3  6
0   0   0  0
Así que las ecuaciones paramétricas son:
x = 5 + 3t
y = 6 - 3t
z = t
También pueden ser
x = 5 + t
y = 6 - t
z = 3t