Problemas para resolver un limite
Que tal, ojala me puedas ayudar para resolver este limite que ya intente pero nada
lim [x^(1/m) - a^(1/m)] / (x-a)
Cuando x->a
Lo leo
raiz m de x menos raiz m de a todo esto entre x menos a
segun el maestro la respuesta es
[a^(1/2)]/(m*a)
la raiz cuadrada de a entre m*a
m es una constante
lim [x^(1/m) - a^(1/m)] / (x-a)
Cuando x->a
Lo leo
raiz m de x menos raiz m de a todo esto entre x menos a
segun el maestro la respuesta es
[a^(1/2)]/(m*a)
la raiz cuadrada de a entre m*a
m es una constante
2 respuestas
Respuesta de kaziza
1
me parece que hay un error en la respuesta, pues el resultado que me da es: [a^(1/m)]/(m*a), (en vez de raíz cuadrada me da raíz m)
Lo calculé de la sigte manera:
* Si miramos el límite podemos ver que es de la forma (0/0), ya que si reemplazamos la x por a queda:
a^(1/m) - a^(1/m) = 0
y
a - a = 0
* Como en (0/0) entonces podemos ocupar L'hopital para calcular el límite, es decir sacamos la derivada del numerador y del denominador por separado y el límite que nos de (de la división entre ambas) será el resultado (d/dx: derivada con respecto a x) :
(d/dx)[x^(1/m) - a^(1/m)] = (x^((1-m)/m))/m
(d/dx)[x-a] = 1
* Nos queda: lím [(x^((1-m)/m))/m]/1
cuando x->a
lo cual es igual a [a^((1-m)/m)]/m
escribiendolo de otra forma, separamos en 2 raices:
[(a^(1/m))*(a^(-m/m))]/m
sabemos que a^(-1) es 1/a, por lo tanto:
[a^(1/m)]/(m*a)
Espero que te haya servido y revisa bien el resultado, (puede que se haya cometido un error al copiar el resultado, ya que es muy parecido)
Si tienes alguna duda, de todas maneras, consúltame.
Lo calculé de la sigte manera:
* Si miramos el límite podemos ver que es de la forma (0/0), ya que si reemplazamos la x por a queda:
a^(1/m) - a^(1/m) = 0
y
a - a = 0
* Como en (0/0) entonces podemos ocupar L'hopital para calcular el límite, es decir sacamos la derivada del numerador y del denominador por separado y el límite que nos de (de la división entre ambas) será el resultado (d/dx: derivada con respecto a x) :
(d/dx)[x^(1/m) - a^(1/m)] = (x^((1-m)/m))/m
(d/dx)[x-a] = 1
* Nos queda: lím [(x^((1-m)/m))/m]/1
cuando x->a
lo cual es igual a [a^((1-m)/m)]/m
escribiendolo de otra forma, separamos en 2 raices:
[(a^(1/m))*(a^(-m/m))]/m
sabemos que a^(-1) es 1/a, por lo tanto:
[a^(1/m)]/(m*a)
Espero que te haya servido y revisa bien el resultado, (puede que se haya cometido un error al copiar el resultado, ya que es muy parecido)
Si tienes alguna duda, de todas maneras, consúltame.
Respuesta de mikel1970
1
Hay un 2 que es una m
La solución es [a^(1/m)]/(m*a)
Hay muchas formas de resolverlo, yo lo haré desarrollando por el polinomio de Taylor de la función f(x)=x^(1/m) en el entorno x=a
Si desarrollamos los dos primeros términos de Taylor nos queda:
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
f(x)=x^(1/m) f(a)=a^(1/m)
f'(x)=(1/m)*x^(1/m - 1)=
(1/m)*x^((1-m)/m)
f'(a)=(1/m)*a^((1-m)/m)
así pues
x^(1/m)=a^(1/m)+[(1/m)*a^((1-m)/m)]*(x-a)
y teniendo x->a
lim [x^(1/m) - a^(1/m)] / (x-a)=
lim[a^(1/m)+[(1/m)*a^((1-m)/m)]*(x-a)]-a^(1/m)]/(x-a)=
lim [(1/m)*a^((1-m)/m)]*(x-a)]/(x-a)=
lim(1/m)*a^((1-m)/m)
Como
a^((1-m)/m)=a^(1/m)*a^(-1)=a^(1/m)/a
finalmente, la solución es:
[a^(1/m)]/(m*a)
La solución es [a^(1/m)]/(m*a)
Hay muchas formas de resolverlo, yo lo haré desarrollando por el polinomio de Taylor de la función f(x)=x^(1/m) en el entorno x=a
Si desarrollamos los dos primeros términos de Taylor nos queda:
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
f(x)=x^(1/m) f(a)=a^(1/m)
f'(x)=(1/m)*x^(1/m - 1)=
(1/m)*x^((1-m)/m)
f'(a)=(1/m)*a^((1-m)/m)
así pues
x^(1/m)=a^(1/m)+[(1/m)*a^((1-m)/m)]*(x-a)
y teniendo x->a
lim [x^(1/m) - a^(1/m)] / (x-a)=
lim[a^(1/m)+[(1/m)*a^((1-m)/m)]*(x-a)]-a^(1/m)]/(x-a)=
lim [(1/m)*a^((1-m)/m)]*(x-a)]/(x-a)=
lim(1/m)*a^((1-m)/m)
Como
a^((1-m)/m)=a^(1/m)*a^(-1)=a^(1/m)/a
finalmente, la solución es:
[a^(1/m)]/(m*a)
Muy bien, solo por ultimo este método a que ecuaciones aplica osea que reglas tiene que seguir un limite para resolverse por este método
El polinomio de Taylor aproxima cualquier función a una función polinómica. Se desarrolla en torno a un punto elegido, por ejemplo a. En tal caso:
f(x)=f(a) + f'(a) * (x-a)+ 1/2! * f''(a) * (x-a) ^ 2 + 1/3! * f'''(a) * (x-a) ^ 3 + 1/4! * f''''(a) * (x-a) ^ 4 + ........
Siendo 2!, 3!, 4!... los factoriales de dichos números, y f', f'', f'''... las derivadas sucesivas de la función.
El desarrollo es aplicable siempre que cojamos los infinitos términos del desarrollo. Pero si estamos calculando la función en un punto cercano al punto elegido, cada vez los términos se van haciendo más pequeños, con lo cual pueden ser despreciados. En el problema propuesto, basta con coger los dos primeros términos del desarrollo, pues al tender por hacia a, y desarrollarlo en a, estamos infinitamente próximos a a.
Existe también el desarrollo de McLaurin, que no es ni más ni menos que el desarrollo de Taylor, pero centrado en el punto 0. De esa forma:
f(x)=f(0) + f'(0) * x + 1/2! * f''(0) * x ^ 2 + 1/3! * f'''(0) * x ^ 3 + 1/4! * f''''(0) * x ^ 4 + ........
Si te das cuenta, el método de de L´Hospital para resolver un límite, no es más que sustituir arriba y abajo, las funciones por los dos primeros términos de su dearrollo de McLaurin.
Así, si x->0, y f(0)=g(0)=0, o sea que nos queda la indeterminación 0/0
lim f(x)/g(x)=lim[f(0)+f'(0) * x]/[g[0]+g'(0) * x] = f'(0)/g'(0)
Para acabar, sólo comentar que el gran Richard Feynman, en un tiempo en el que no había calculadoras, sino que para operar con logaritmos, senos... había que consultar unas tablas, dejaba a todos sus compañeros de El Alamo, boquiabiertos por sus cálculos rápidos. Todos creían que se sabía las tablas de memoria, pero por supuesto Feynman, como gran engañador que era, usaba un truco, ¿cuál crees que era?
f(x)=f(a) + f'(a) * (x-a)+ 1/2! * f''(a) * (x-a) ^ 2 + 1/3! * f'''(a) * (x-a) ^ 3 + 1/4! * f''''(a) * (x-a) ^ 4 + ........
Siendo 2!, 3!, 4!... los factoriales de dichos números, y f', f'', f'''... las derivadas sucesivas de la función.
El desarrollo es aplicable siempre que cojamos los infinitos términos del desarrollo. Pero si estamos calculando la función en un punto cercano al punto elegido, cada vez los términos se van haciendo más pequeños, con lo cual pueden ser despreciados. En el problema propuesto, basta con coger los dos primeros términos del desarrollo, pues al tender por hacia a, y desarrollarlo en a, estamos infinitamente próximos a a.
Existe también el desarrollo de McLaurin, que no es ni más ni menos que el desarrollo de Taylor, pero centrado en el punto 0. De esa forma:
f(x)=f(0) + f'(0) * x + 1/2! * f''(0) * x ^ 2 + 1/3! * f'''(0) * x ^ 3 + 1/4! * f''''(0) * x ^ 4 + ........
Si te das cuenta, el método de de L´Hospital para resolver un límite, no es más que sustituir arriba y abajo, las funciones por los dos primeros términos de su dearrollo de McLaurin.
Así, si x->0, y f(0)=g(0)=0, o sea que nos queda la indeterminación 0/0
lim f(x)/g(x)=lim[f(0)+f'(0) * x]/[g[0]+g'(0) * x] = f'(0)/g'(0)
Para acabar, sólo comentar que el gran Richard Feynman, en un tiempo en el que no había calculadoras, sino que para operar con logaritmos, senos... había que consultar unas tablas, dejaba a todos sus compañeros de El Alamo, boquiabiertos por sus cálculos rápidos. Todos creían que se sabía las tablas de memoria, pero por supuesto Feynman, como gran engañador que era, usaba un truco, ¿cuál crees que era?