Problemas Matematicos, Maximos y minimos
Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior ha sido sustituido por una circunferencia. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6m, halla las dimensiones b y h para que las superficies sea máxima.
1 respuesta
Respuesta de canalrev
1
Supongo que el lado superior se ha sustituido por una semicircunferencia, sino no me tiene sentido
El perímetro de la ventana es b+2h+PI·b/2 la base, dos alturas y la media circunferencia de radio b/2
b+2h+PI·b/2=6 ---> h=3-b/2 - PI·b/4
área = b·h+ PI·(b/2)^2 /2 área del rectángulo mas área del medio círculo.
sustituyendo h
área f(b)=b·(3-b/2 - PI·b/4)+ PI·(b/2)^2 /2=3b-b^2/2-·PI·b^2/8
calculamos su derivada y la igualamos a 0
f'(b)=3-b-PI·b/4
f'(b)=0 --> 3-b-PI·b/4=0 --> b=12/(4+PI)
f''(b)= -1-PI/4 <0 --> máximo.
El área es máxima en b=12/(4+PI) y h=3-b/2 - PI·b/4 = 3-6/(4+PI) - 3PI/(4+PI)
El perímetro de la ventana es b+2h+PI·b/2 la base, dos alturas y la media circunferencia de radio b/2
b+2h+PI·b/2=6 ---> h=3-b/2 - PI·b/4
área = b·h+ PI·(b/2)^2 /2 área del rectángulo mas área del medio círculo.
sustituyendo h
área f(b)=b·(3-b/2 - PI·b/4)+ PI·(b/2)^2 /2=3b-b^2/2-·PI·b^2/8
calculamos su derivada y la igualamos a 0
f'(b)=3-b-PI·b/4
f'(b)=0 --> 3-b-PI·b/4=0 --> b=12/(4+PI)
f''(b)= -1-PI/4 <0 --> máximo.
El área es máxima en b=12/(4+PI) y h=3-b/2 - PI·b/4 = 3-6/(4+PI) - 3PI/(4+PI)
