Problemas Matemáticos
Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior ha sido sustituido por una circunferencia. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6m, halla las dimensiones b y h para que las superficies sea máxima.
1 respuesta
Respuesta de Fran José García
1
La solución es sencilla, tenemos que el perímetro está dado por
P = (1 + Pi)·X + 2·Y = 6
y el área por
A = X·Y + Pi (x/2)^2
entonces del perímero despejamos Y
Y = 3 - (1/2)(1 + Pi)X
y lo sustituimos en el área
A = X·[3 - (1/2)(1 + Pi)X]+(Pi/4)x^2
para maximizar esa función la derivamos y obtenemos
A' = 3 + ((Pi/2) - (1+Pi))X
lo igualamos a cero y despejamos la X y obtenemos el punto crítico
3 + ((Pi/2) - (1+Pi))X = 0 entonces X = 3/(1+Pi/2) = 1.16695
entonces para comprobar si es un máximo calculamos la segunda derivada
A'' = ((Pi/2) - (1+Pi)) y como es menor que 0, entonces es un máximo el valor de Y lo conseguimos al sustituir en
Y = 3 - (1/2)(1 + Pi)X =3 - (1/2)(1 + Pi)·1.16695 = 0.583477
entonces esas son las medidas de la ventana donde X es el ancho (base de la ventana) e Y es la altura (altura de la parte rectangular).
El área total es 3.1632
P = (1 + Pi)·X + 2·Y = 6
y el área por
A = X·Y + Pi (x/2)^2
entonces del perímero despejamos Y
Y = 3 - (1/2)(1 + Pi)X
y lo sustituimos en el área
A = X·[3 - (1/2)(1 + Pi)X]+(Pi/4)x^2
para maximizar esa función la derivamos y obtenemos
A' = 3 + ((Pi/2) - (1+Pi))X
lo igualamos a cero y despejamos la X y obtenemos el punto crítico
3 + ((Pi/2) - (1+Pi))X = 0 entonces X = 3/(1+Pi/2) = 1.16695
entonces para comprobar si es un máximo calculamos la segunda derivada
A'' = ((Pi/2) - (1+Pi)) y como es menor que 0, entonces es un máximo el valor de Y lo conseguimos al sustituir en
Y = 3 - (1/2)(1 + Pi)X =3 - (1/2)(1 + Pi)·1.16695 = 0.583477
entonces esas son las medidas de la ventana donde X es el ancho (base de la ventana) e Y es la altura (altura de la parte rectangular).
El área total es 3.1632
