Derivabilidad y continuidad de las funciones
Necesito que me resuelva este ejercicio por favor, no sé ni empezar..
Me dan el siguiente sistema:
x^3 - 12x + 1 si 0 es menor o igual que x menor o igual que 1
20x^2 + bx + c si 1 es menor que x menor o igual que 2
Hallar b y c para que la función sea continua y derivable en (0,2)
Gracias de antemano!
Me dan el siguiente sistema:
x^3 - 12x + 1 si 0 es menor o igual que x menor o igual que 1
20x^2 + bx + c si 1 es menor que x menor o igual que 2
Hallar b y c para que la función sea continua y derivable en (0,2)
Gracias de antemano!
Respuesta de canalrev
1
Lo que te dan no es un sistema sino una función a trozos
En principio cada trozo de función es continua por ser polinimios, el problema está en el punto donde se unen las funciones, en este caso en x=1
para que sea continua el limite por la izquierda y el limite por la derecha deben coincidir
el limite por la izquierda es : Lim[x->1-](x^3 - 12x + 1)= 1-12+1=-10
el limite por la deecha es : Lim[x->1+](20x^2 + bx + c)=20+b+c
de donde se saca que 20+b+c=-10 --> b+c=-30 ya tenemos una ecuación
Para que sea deribable, la derivada debe ser continua
la derivada es
3x^2-12 si 0<=x<=1
40x+b si 1<x<=2
para que sea continua el limite por la izquierda y el limite por la derecha deben coincidir
el limite por la izquierda es : Lim[x->1-](3x^2 - 12)= 3-12=-9
el limite por la deecha es : Lim[x->1+](40x+b)=40+b
de donde se saca que 40+b=-9 --> b=-49
por lo que nos queda el sistema
b+c=-30
b=-49
sustituyendo b en la 1ª -49+c=-30 --> c=19
En principio cada trozo de función es continua por ser polinimios, el problema está en el punto donde se unen las funciones, en este caso en x=1
para que sea continua el limite por la izquierda y el limite por la derecha deben coincidir
el limite por la izquierda es : Lim[x->1-](x^3 - 12x + 1)= 1-12+1=-10
el limite por la deecha es : Lim[x->1+](20x^2 + bx + c)=20+b+c
de donde se saca que 20+b+c=-10 --> b+c=-30 ya tenemos una ecuación
Para que sea deribable, la derivada debe ser continua
la derivada es
3x^2-12 si 0<=x<=1
40x+b si 1<x<=2
para que sea continua el limite por la izquierda y el limite por la derecha deben coincidir
el limite por la izquierda es : Lim[x->1-](3x^2 - 12)= 3-12=-9
el limite por la deecha es : Lim[x->1+](40x+b)=40+b
de donde se saca que 40+b=-9 --> b=-49
por lo que nos queda el sistema
b+c=-30
b=-49
sustituyendo b en la 1ª -49+c=-30 --> c=19
¿Y lo de Hallar b y c para que la función sea continua y derivable en (0,2) qué es?
Y por qué se hace en x= 1 y no en x= 2 si también es un agujero cerrado?
Y por qué se hace en x= 1 y no en x= 2 si también es un agujero cerrado?
Tienes que ver que la función es continua y su derivada también es continua en el intervalo que te dan, pero como la función esta formada por dos polinomios son continuos y derivabales, el problema puede surgir en donde se unen esos dos polinomios, como el primero está definido en (0,1] y el segundo en (1,2] el problema está en el x=1 que es donde la estudio.
