Integracion por sustitucion

$:Integral, aviso:si no sabes derivar o saber e que consiste integrar, olvidate de tratar de entender, regresa a un año antes, lmao
Al integrar hayas la primitiva, es decir:
            $(f'x)dx = fx
Ves así de simple es el entendimiento, solo es hallar la función de la cual derivaste, por eso se comprueba, el resultado de la integral derivando, si obtiens la función que estab dentro de la integral, eureka!, buena respuesta, lol
Para entender mejor, lee desde el c hasta el a, así lo fui resolviendo, ok
Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
No estoy seguro de como es realmente, lo haré según mi criterio, eso sucede por no colocar los datos apropiadamente, no se si el senx, divide a todo o solo al cosx, vuevle a escribirlo
Bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
B=$ (e^x) *dx =  1*$ (2e^x)*dx 
        (1+2e^x)     2       1+2e^x
Veamos un ejemplo: derivamos: (1+2e^x)' =2e^x*dx
Entonces,se que esa integral va a dar com resultado un logaritmo natural
porque: (lnx)'= x' =1*dx bueno la dx es aplicable para integrales,se le ignora en
                         x       x               derivadas ordinarias,esa que sabes
Entonces veamos el ejercicio:
B=1*$ (2e^x)*dx = 1*$ (1+2e^x)' = 1 * ln(1+2e^x)
    2       1+2e^x      2       1+2e^x      2
B=1*ln(1+2e^x)      si derivas esto comprobaras que esta bien ,catchay?
    2
OOOOHHHH jeez me olvide que estamos en sustitucion:
1+2e^x = t derivando   2*(e^x)*dx=dt  >>> (e^x)*dx=dt/2
B=$  (e^x) *dx =  $ dt/2
        (1+2e^x)             t
B=  1*$ dt = 1*ln(t)          reemplazando
      2      t     2
B=1*ln(1+2e^x)      Se obtuvo el mismo resultado
    2
Ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
E= $( tgx/cosx)dx          Hacemos un cambio de variable con artificio
tgx=t derivando               senx =         t                   cosx =        1         
                                                    sqrt(1+t^2)                     sqrt(1+t^2)
dx/[cos(x)]^2 =dt          Compruebalo y veras que es igual
dx=dt*(cosx)^2  = dt/(1+t^2)
Entonces en E
E=  $( tgx/cosx)dx = $ t*sqrt(1+t^2) *       dt         =$        t  * dt          
                                                               (1+t^2)           sqrt(1+t^2)
Ahora otro cambio de variable
1+t^2=a^2   derivando :         2t*dt=2a*da >>> t*dt=a*da
  Entonces reemplazando en E
E=$      t  * dt       = $  a*da = $da = a
        sqrt(1+t^2)           a
E=   a                                 reemplazando los cambios anteriores
E= sqrt(1+t^2)
E=sqrt[1+(tgx)^2)]