Inversa de f(x)=x^3+x

Para calcular la inversa lo primero es despejar por en función de f(x). Por simplicidad se usa la variable y en vez de f(x)
y= x^3 + 3
y - 3 = x^3
X = (y-3)^(1/3) (dicho de otra forma es la raíz cúbica)
Ahora donde ponía x ponemos f(-1)(x), que es lafunción inversa, y donde ponía "y" pondremos x.
f(-1)(x) = (x-3)^(1/3)   donde f(-1) es la función inversa.
Esto es todo. No dejes de preguntar si tienes alguna duda y no olvides puntuar y finalizar la pregunta.

Buenas. La que has resuelto tu ya se hacerla pero pregunto por f(x)=x^3+X en vez de +3, +X. Gracias.

¡Huy! Mil perdones, me falló la vista. Bueno la cosa cambia bastante. En efecto, lo que hay que resolver es una ecuación de por de tercer grado en función de la y.
x^3 + x +y = 0
Y esta ecuación ya es bastante complicada, muchísimo más que la que me había propuesto resolver yo. Existen fórmulas para la ecuación de tercer grado, véanse en:
http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm
pero nos puede dar un ataque solo de verlas.
También podemos deducir nosotros mismos la obtención de esa fórmula consultando en uno de estos dos sitios:
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuacion_de_tercer_grado
http://www.ugr.es/~eaznar/ecuaciones.htm
Lo que yo voy a hacer no es exactamente igual, pero está basado en el artículo citado de la wikipedia.
En la ecuación
x^3 + x - y =0
Vamos a hacer el siguientge cambio de variable
x = u - 1/(3u)
Entonces quedará
(u - 1/(3u))^3 + u - 1/(3u) - y = 0
u^3 - 3(u^2)/(3u) - 3u/((3u)^2) + 1/(27(u^3)) + u + 1/(3u) - y = 0
u^3 - u - 1/(3u) - 1/(27(u^3)) + u + 1/(3u) - y = 0
u^3 -1/(27(u^3)) - y = 0
Ahora multiplicamos por u^3
u^6 - 1/27 - y(u^3) = 0 
Ahora hagamos el cambio
t = u^3
y tendremos una simple ecuación de segundo grado en t
t^2 - yt - 1/27 = 0
que resolvemos
t = (y+-sqrt((y^2)+4/27))/2
como u es la raiz cúbica de t tenemos:
u = [(y+-sqrt((y^2)+4/27))/2]^(1/3)
y como x = u - 1/(3u) tenemos:
 x = [(y+-sqrt((y^2)+4/27))/2]^(1/3) -1/(3[(y+-sqrt((y^2)+4/27))/2]^(1/3))
de lo que se deduce decidiendonos ya por el signo
f(-1)(x) = [(x+sqrt((x^2)+4/27))/2]^(1/3) -1/(3[(x+sqrt((x^2)+4/27))/2]^(1/3))
Aunque puede ser mejor usar la variable u para no duplicar los cálculos.
La comprobación algebraica de que f compuesta con f(-1) es la identidad es muy difícil. Lo que he hecho es un programa que verifica valores de la función inversa y da los valores que cabe esperar, es decir, si f(x)=y que f(-1)(y)=x. Así sucede:
f(1)=2;  f(-1)(2)=1
f(2)=10; f(-1)(10)=2
f(3)=30; f(-1)(30)=3
f(1,25)=3,203125;  f(-1)(3,203125)=1,25
Pues eso es todo y ahora creo que bien. Mira a ver si es de tu gusto y puntúa y finaliza si no quieres más aclaraciones.