Relaciones entre ángulos
Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo miden 7'2cm y 12'8cm. Se desea hallar la longitud de los catetos y la altura correspondiente a la hipotenusa
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Lo primero será que hagas el dibujo que te voy a decir porque este editor no deja hacer gráficos, solo escribir y mal.
Dibuja el triángulo rectángulo de esta forma:
Abajo la hipotenusa en horizontal, la llamaremos y marcaremos como "c".
A la izquierda marcaremos el vértice A y desde ahí trazaremos el cateto mayor hacia arriba, dale un ángulo marcándolo con la letra griega alfa de aproximadamente de 30 grados que nos sirve. Llama y marca "b" a este cateto.
A la derecha estará el vértice B, dibuja el cateto menor con ángulo de unos 60 grados de derecha a izquierda hacia arriba, llama y marca la letra giega beta en el ángulo y llama y marca "a" al cateto.
Arriba se juntarán los dos catetos formando el angulo de 90 grados, llama C al vértice. Desde C traza la altura "h" hasta la base. Llama DE al punto donde corta a la base.
Entonces, de acuerdo con la construcción, el segmento AD es la proyección del cateto mayor y mide 12,8 cm, el segmento DB es la proyección del cateto menor y mide 7,2 cm. Se han formado dos triángulo rectángulos dentro del inicial, son el ADC y el CDB. Marcamos también que la hipotenusa inicial es c = 12,8+7,2 = 20cm
Por ser ACB un triángulo rectángulo suman 90 los dos angulos no rectos, es decir alfa+beta=90. Con ello deducimos fácilmente los angúlos que nos faltan en los triángulos interiores, el ángulo ACD es beta y el BCD es alfa.
Con el dibujo y todos estos datos marcados vamos ya a resolver:
METODO DE "THALES"
Los tres triángulos son semejantes porque tienen los mismos ángulos alfa, beta y 90.
Luego los lados homólogos son proporcionales. Siendo homólogos entre sí los lados que desempeñan la misma función en cada triángulo. En nuestro caso será bien sencillo, serán proporcionales entre sí los catetos mayores por una parte, por otra los menores y por otra las hipotenusas. Los escribiré por orden, primero el lado en el triangulo inicial, luego el izquierdo (grande) y luego el derecho (pequeño):
Catetos mayores: b, 12'8, h
Catetos menores: a, h, 7'2
Hipotenusas: 20, b, a
Por el teorema de Thales tendremos que la razón entre el cateto mayor de uno y de otro será la misma que la de los catetos menores. En concreto nos interesa esta:
12'8/h = h/7'2 <==> h*h=12'8*7'2 <==> h^2 = 92'16 <==> h = sqrt(92,16) <==>
h = altura correspondiente a la hipotenusa = 9,6 cm
Ahora vamos al triángulo grande donde "b" hace de hipotenusa:
b = sqrt(12'8^2 + 9'6^2) = sqrt (163,84 + 92'16) = sqrt(256)luego
b = longitud cateto mayor = 16 cm
Y finalmente al triangulo menor donde a es la hippotenusa:
a = sqrt(9'6^2 + 7'2^2) = sqrt(144) luego
a = longitud del cateto menor = 12 cm
MÉTODO MÁS AVANZADO
Se desprende del dibujo que tg(alfa) es en el triángulo izquierdo h/12,8 y en el derecho 7,2/h
Igualando tenemos idéntica ecuación que antes y realizamos el mismo proceso.
Y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y te sirva. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Dibuja el triángulo rectángulo de esta forma:
Abajo la hipotenusa en horizontal, la llamaremos y marcaremos como "c".
A la izquierda marcaremos el vértice A y desde ahí trazaremos el cateto mayor hacia arriba, dale un ángulo marcándolo con la letra griega alfa de aproximadamente de 30 grados que nos sirve. Llama y marca "b" a este cateto.
A la derecha estará el vértice B, dibuja el cateto menor con ángulo de unos 60 grados de derecha a izquierda hacia arriba, llama y marca la letra giega beta en el ángulo y llama y marca "a" al cateto.
Arriba se juntarán los dos catetos formando el angulo de 90 grados, llama C al vértice. Desde C traza la altura "h" hasta la base. Llama DE al punto donde corta a la base.
Entonces, de acuerdo con la construcción, el segmento AD es la proyección del cateto mayor y mide 12,8 cm, el segmento DB es la proyección del cateto menor y mide 7,2 cm. Se han formado dos triángulo rectángulos dentro del inicial, son el ADC y el CDB. Marcamos también que la hipotenusa inicial es c = 12,8+7,2 = 20cm
Por ser ACB un triángulo rectángulo suman 90 los dos angulos no rectos, es decir alfa+beta=90. Con ello deducimos fácilmente los angúlos que nos faltan en los triángulos interiores, el ángulo ACD es beta y el BCD es alfa.
Con el dibujo y todos estos datos marcados vamos ya a resolver:
METODO DE "THALES"
Los tres triángulos son semejantes porque tienen los mismos ángulos alfa, beta y 90.
Luego los lados homólogos son proporcionales. Siendo homólogos entre sí los lados que desempeñan la misma función en cada triángulo. En nuestro caso será bien sencillo, serán proporcionales entre sí los catetos mayores por una parte, por otra los menores y por otra las hipotenusas. Los escribiré por orden, primero el lado en el triangulo inicial, luego el izquierdo (grande) y luego el derecho (pequeño):
Catetos mayores: b, 12'8, h
Catetos menores: a, h, 7'2
Hipotenusas: 20, b, a
Por el teorema de Thales tendremos que la razón entre el cateto mayor de uno y de otro será la misma que la de los catetos menores. En concreto nos interesa esta:
12'8/h = h/7'2 <==> h*h=12'8*7'2 <==> h^2 = 92'16 <==> h = sqrt(92,16) <==>
h = altura correspondiente a la hipotenusa = 9,6 cm
Ahora vamos al triángulo grande donde "b" hace de hipotenusa:
b = sqrt(12'8^2 + 9'6^2) = sqrt (163,84 + 92'16) = sqrt(256)luego
b = longitud cateto mayor = 16 cm
Y finalmente al triangulo menor donde a es la hippotenusa:
a = sqrt(9'6^2 + 7'2^2) = sqrt(144) luego
a = longitud del cateto menor = 12 cm
MÉTODO MÁS AVANZADO
Se desprende del dibujo que tg(alfa) es en el triángulo izquierdo h/12,8 y en el derecho 7,2/h
Igualando tenemos idéntica ecuación que antes y realizamos el mismo proceso.
Y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y te sirva. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
