Ejercicios matemáticas
En un triángulo de 40 cm de base y 30 cm de altura, se trazan dos segmentos paralelos a la base que dividen a la altura, a partir del vértice, en tres partes que son entre sí como 3 : 7 : 5. Halla las longitudes de los segmentos B'C' y B''C''.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Me falta el dibujo donde aparezcan las letras pero creo que con B'C' y B''C'' te refieres a los segmentos horizontales que habiás creado entre los dos lados del triángulo. Entonces considero que BC es el segmento base original y A el vértice superior.
Por construcción los segmentos son paralelos a la base, y por tanto lo que construimos son dos triángulos semejantes al original en el interior ya que el angulo del vértice B es el mismo que el de B' y B'' y el ángulo en C es igual que el de C' y C'' y como los triángulos tienen los tres ángulos iguales son semejantes.
ABC es semejante a AB'C' semejante a AB''C''. Por el teorema de Thales, dos triángulos semejantes tienen una razón constante para los tres lados homólogos. Lamemos r1 a la razón de ABC con AB'C' y r2 a la de ABC con AB''C''
r1 = AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C'
r2 = AB/AB'' = AC/AC'' = BC/B''C''
Vamos a demostrar que la alturas también tienen esa razón. Es decir, que si h es la altura de ABC y h' la de AB'C' entonces h/h' = r1. Llamemos DE, D' y D'' a los cortes de la altura con las bases de los triángulos. Tendremos estas alturas h = AD, h' = AD' y h'' = AD''
Ahora hemos dividido en dos cada uno de los triángulos anteriores, tenemos tres a la izquierda y tres a la derecha. De nuevo son semejantes entre sí los tres izquierdos y semejantes entre sí los tres derechos. Tomando los triángulos ABD y AB'D' y aplicando Thales tenemos:
r1 = AB/AB' = AD/AD' = BD/B'D'
pero AD = h y AD' = h'
luego
R1 = h/h' y queda demostrado que las alturas tienen la misma razón entre si que los lados.
Suponiendo que B'C' sea el segmento de más arriba, B''C'' el de abajo y BC la base tenemos que AD' tiene 3 partes de la altura, D'D'' tiene 7 y D''D tiene 5. En total tenemos la altura dividida en 15 partes. Como la altura es 30cm, cada parte tiene 2cm, con lo que:
AD' = 6 cm
D'D'' = 14 cm
D''D = 10 cm
h' = AD' = 6 cm
h'' = AD' + D'D'' = 6 + 14 = 20 cm
h = AD' + D'D'' + D''D = 6 + 14 + 10 = 30 cm como ya sabíamos.
Y conocidos los valores de h, h' y h'' ya podemos calcular la razón de los triángulos:
r1 = h/h' = 30/6 = 5 luego:
5 = BC/B'C' y como BC es la base conocida cuyo valor es 40, tenemos:
5 = 40/B'C'
B'C' = 40/5 = 8 cm
r2 = h/h'' = 30/20 = 1,5 luego:
1,5 = BC/B''C'' y como BC es la base conocida cuyo valor es 40, tenemos:
1,5 = 40/B'C'
B''C'' = 40/1,5 = 26,66666... cm
Y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y te sirva y vayas aprendiendo para hacer tu mismo este tipo de problemas. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Por construcción los segmentos son paralelos a la base, y por tanto lo que construimos son dos triángulos semejantes al original en el interior ya que el angulo del vértice B es el mismo que el de B' y B'' y el ángulo en C es igual que el de C' y C'' y como los triángulos tienen los tres ángulos iguales son semejantes.
ABC es semejante a AB'C' semejante a AB''C''. Por el teorema de Thales, dos triángulos semejantes tienen una razón constante para los tres lados homólogos. Lamemos r1 a la razón de ABC con AB'C' y r2 a la de ABC con AB''C''
r1 = AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C'
r2 = AB/AB'' = AC/AC'' = BC/B''C''
Vamos a demostrar que la alturas también tienen esa razón. Es decir, que si h es la altura de ABC y h' la de AB'C' entonces h/h' = r1. Llamemos DE, D' y D'' a los cortes de la altura con las bases de los triángulos. Tendremos estas alturas h = AD, h' = AD' y h'' = AD''
Ahora hemos dividido en dos cada uno de los triángulos anteriores, tenemos tres a la izquierda y tres a la derecha. De nuevo son semejantes entre sí los tres izquierdos y semejantes entre sí los tres derechos. Tomando los triángulos ABD y AB'D' y aplicando Thales tenemos:
r1 = AB/AB' = AD/AD' = BD/B'D'
pero AD = h y AD' = h'
luego
R1 = h/h' y queda demostrado que las alturas tienen la misma razón entre si que los lados.
Suponiendo que B'C' sea el segmento de más arriba, B''C'' el de abajo y BC la base tenemos que AD' tiene 3 partes de la altura, D'D'' tiene 7 y D''D tiene 5. En total tenemos la altura dividida en 15 partes. Como la altura es 30cm, cada parte tiene 2cm, con lo que:
AD' = 6 cm
D'D'' = 14 cm
D''D = 10 cm
h' = AD' = 6 cm
h'' = AD' + D'D'' = 6 + 14 = 20 cm
h = AD' + D'D'' + D''D = 6 + 14 + 10 = 30 cm como ya sabíamos.
Y conocidos los valores de h, h' y h'' ya podemos calcular la razón de los triángulos:
r1 = h/h' = 30/6 = 5 luego:
5 = BC/B'C' y como BC es la base conocida cuyo valor es 40, tenemos:
5 = 40/B'C'
B'C' = 40/5 = 8 cm
r2 = h/h'' = 30/20 = 1,5 luego:
1,5 = BC/B''C'' y como BC es la base conocida cuyo valor es 40, tenemos:
1,5 = 40/B'C'
B''C'' = 40/1,5 = 26,66666... cm
Y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y te sirva y vayas aprendiendo para hacer tu mismo este tipo de problemas. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
