Inducción matemática
Por favor quien me puede colaborar con esto, ando grave... En esto
i. Conjeture una fórmula para sumatoria Pn desde k=1 hasta n, de 1/ (k(k+1)) Demuestre que su conjetura es correcta
ii. Encuentre una fórmula para la productoria Qn desde j=1 hasta n, de 2^j Demuestrela.
iii . Los numeros armonicos Hj , con j = 1, 2, . . . Se definen como
Hj = 1 + 1/ 2 +1 /3 + ? ? ? + 1/ j
a) Demuestre que H (2 no elevado sino como subindice) 2^n , (a la n si es elevado para 2, aclaracion...), >= 1 + n/2 , para todo entero no negativo n.
sobreescribo el a)
a) Demuestre que H 2^n , >= 1 + n/2 , para todo entero no negativo n.
b) Demuestre que H (2 no elevado sino como subindice 2^n ? 1 + n, para todo entero no negativo n.
sobreescribo el b) como es:
b) ¿Demuestre qué H 2^n? 1 + n, para todo entero no negativo n.
i. Conjeture una fórmula para sumatoria Pn desde k=1 hasta n, de 1/ (k(k+1)) Demuestre que su conjetura es correcta
ii. Encuentre una fórmula para la productoria Qn desde j=1 hasta n, de 2^j Demuestrela.
iii . Los numeros armonicos Hj , con j = 1, 2, . . . Se definen como
Hj = 1 + 1/ 2 +1 /3 + ? ? ? + 1/ j
a) Demuestre que H (2 no elevado sino como subindice) 2^n , (a la n si es elevado para 2, aclaracion...), >= 1 + n/2 , para todo entero no negativo n.
sobreescribo el a)
a) Demuestre que H 2^n , >= 1 + n/2 , para todo entero no negativo n.
b) Demuestre que H (2 no elevado sino como subindice 2^n ? 1 + n, para todo entero no negativo n.
sobreescribo el b) como es:
b) ¿Demuestre qué H 2^n? 1 + n, para todo entero no negativo n.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Demostración:
Es cierta para k=1
Sumatorio desde k=1 hasta 1 de 1/(k(k+1)) = 1/1·2 = 1/2
k/k+1 = 1/2 es lo mismo
Supongámoslo cierto para "n" y veamos que se cumple para n+1
Sumatorio desde k=1 hasta n de 1/(k(k+1)) = n/(n+1)
Para n+1 hay que sumar el término 1/((n+1)(n+2))
n/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) = (n(n+2)+1) /((n+1)(n+2)) =
=(n^2 + 2n +1)/((n+1)(n+2)) = ((n+1)^2)/((n+1)(n+2) = (n+1)/(n+2)
luego se cumple.
-------------------------------------------------------------------
Por la propiedad 2^n·2^m = 2^(n+m) la productoria se transforma en un sumatorio de exponentes
El sumatorio desde j=1 hasta n de j es 1+2+3+..+j =(1+j)·j/2
luego la productoria de 2^j desde j=1 hasta n es 2^(j(1+j)/2)
-------------------------------------------------------------------
H2^n >= 1 + n/2 para todo entero negativo
H2 es 1 + 1/2
H2 elevado a la n será (1+1/2)^n
Si desarrollamos el binomio de Newton de esa expresión nos dará
1+ n/2 + (n sobre 2) (1/4) + (n sobre 3) (1/8) +...
y esta expresión siempre será >= que 1+n/2 ya que contiene eso y más sumandos positivos. En concreto para n=1 será igual y para n=2 ya será mayor y así siempre.
--------------------------------------------------------------------
Pues está escrito dos veces pero no quedó bien escrito, aparece una interrogación en lugar del signo de la desigualdad. Si lo pones bien intentaré demostrarlo. Si lo que debía poner era H2^n <= 1+n ya te digo que sería falso.
Si no, no te olvides de puntuar la pregunta.
Es cierta para k=1
Sumatorio desde k=1 hasta 1 de 1/(k(k+1)) = 1/1·2 = 1/2
k/k+1 = 1/2 es lo mismo
Supongámoslo cierto para "n" y veamos que se cumple para n+1
Sumatorio desde k=1 hasta n de 1/(k(k+1)) = n/(n+1)
Para n+1 hay que sumar el término 1/((n+1)(n+2))
n/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) = (n(n+2)+1) /((n+1)(n+2)) =
=(n^2 + 2n +1)/((n+1)(n+2)) = ((n+1)^2)/((n+1)(n+2) = (n+1)/(n+2)
luego se cumple.
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Por la propiedad 2^n·2^m = 2^(n+m) la productoria se transforma en un sumatorio de exponentes
El sumatorio desde j=1 hasta n de j es 1+2+3+..+j =(1+j)·j/2
luego la productoria de 2^j desde j=1 hasta n es 2^(j(1+j)/2)
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H2^n >= 1 + n/2 para todo entero negativo
H2 es 1 + 1/2
H2 elevado a la n será (1+1/2)^n
Si desarrollamos el binomio de Newton de esa expresión nos dará
1+ n/2 + (n sobre 2) (1/4) + (n sobre 3) (1/8) +...
y esta expresión siempre será >= que 1+n/2 ya que contiene eso y más sumandos positivos. En concreto para n=1 será igual y para n=2 ya será mayor y así siempre.
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Pues está escrito dos veces pero no quedó bien escrito, aparece una interrogación en lugar del signo de la desigualdad. Si lo pones bien intentaré demostrarlo. Si lo que debía poner era H2^n <= 1+n ya te digo que sería falso.
Si no, no te olvides de puntuar la pregunta.
