Integral: sex/(3+sen²x) ?
Al comenzar, me doy cuenta de que: sen2x=1-cos²x
Lo sustituyo en la integral y me queda: senx/4-cos²x
Decido hacerlas por sustitución, con lo cual:
t=cosx dt=-senx dx=dt/-senx
Con lo cual:
integral de : (senx/4-t²) * (dt/-senx)
Los senos se me van quedándome ---- integral de : (- 1/4-t²)*dt
A partir de hay no soy capaz de continuar, no se si lo he hecho mal desde el principio. ¿Alguien me podría ayudar? Muchas gracias!
Lo sustituyo en la integral y me queda: senx/4-cos²x
Decido hacerlas por sustitución, con lo cual:
t=cosx dt=-senx dx=dt/-senx
Con lo cual:
integral de : (senx/4-t²) * (dt/-senx)
Los senos se me van quedándome ---- integral de : (- 1/4-t²)*dt
A partir de hay no soy capaz de continuar, no se si lo he hecho mal desde el principio. ¿Alguien me podría ayudar? Muchas gracias!
1 Respuesta
Respuesta de futuralter
1
Bueno para demostrar es fácil, pero para escribir...,, pero hacer este cambio de variable:
senx=(2z)/(1+ z^2)
cosx=(1-z^2)/(1+z^2)
dx=(2dz)/(1+z^2)
donde:
z=tg(x/2)
senx=(2z)/(1+ z^2)
cosx=(1-z^2)/(1+z^2)
dx=(2dz)/(1+z^2)
donde:
z=tg(x/2)
Luego se obtendrá:
$(4z*dz)/[(3z^2 + 1)*(z^2 + 3)] , $:simbolo de integral
bueno ahi ya lo factorize,y ademas solo trabaje con la expresion incial,es decir solo con el senx,no lo converti en cos(x)^2,dara el mismo resultado,so mejor trabajar con la expresion inicial
En fin ahora solo queda descomponer en fracciones parciales, ¿lo puedes hacer tu o lo hago yo?
$(4z*dz)/[(3z^2 + 1)*(z^2 + 3)] , $:simbolo de integral
bueno ahi ya lo factorize,y ademas solo trabaje con la expresion incial,es decir solo con el senx,no lo converti en cos(x)^2,dara el mismo resultado,so mejor trabajar con la expresion inicial
En fin ahora solo queda descomponer en fracciones parciales, ¿lo puedes hacer tu o lo hago yo?
Bueno tendré que hacerlo yooooooooooo, lol
Al transformar en fracciones parciales se obtiene:
${[(3z/2)/(3z^2 + 1)] - [(z/2)/(z^2 +3)]}dz
Ahora podemos descomponer esta integral en 2 partes, siempre que sean continuas en un mismo intervalo
$[(3z/2)/(3z^2 + 1)]dz - $[(z/2)/(z^2 +3)]dz
Ahora se procede a sustituir de nuevo
(3z^2 + 1)=a ,diferenciando
6zdz=da
(z^2 +3)=c ,diferenciando
2zdz=dc
Ahora hay que modificar las integrlaes, para proceder a reemplazar, si te fijas en la primera integral no hay el termino 6z, solo 3z/2,debes saber como adecuar, ¿verdad?
Afuera los numeros
(3/2)*$[z/(3z^2 + 1)]dz - (1/2)*$[z/(z^2 +3)]dz
multiplicar y dividir por 2 cada integral,eso no altera en ndad,puesto que 2/2=1,y 1*algo=algo para estos casos
(6/4)*$[z/(3z^2 + 1)]dz - (2/4)*$[z/(z^2 +3)]dz
introduciendo el umero de afuera convenientemente
(1/4)*$[6z/(3z^2 + 1)]dz - (1/4)*$[2z/(z^2 +3)]dz
Expresar mejor asi las integrales:
(1/4)*$[6zdz/(3z^2 + 1)] - (1/4)*$[2zdz/(z^2 +3)]
Ahora obtenemos lo que se hallo arriba,reemplazar
(1/4)*$[da/a] - (1/4)*$[dc/c]
Ahora easy,esa integral es el logaritmo natural de la variable
(1/4)*[lna] - (1/4)*[lnc]
Ahora solo queda reemplzar todas la variables,hasta obtener en funcion de x
(1/4)*[lna] - (1/4)*[lnc]
(1/4)*[ln(3z^2 + 1)] - (1/4)*[ln(z^2 +3)]
pero z=tg(x/2) >>>>>z^2=[tg(x/2)]^2
(1/4)*ln[3(tg(x/2))^2 + 1] - (1/4)*ln[(tg(x/2))^2 +3],factorizando
(1/4)*{ln[3(tg(x/2))^2 + 1] - ln[(tg(x/2))^2 +3]} ,propiedad logaritmo
(1/4)*ln{[3(tg(x/2))^2 + 1]/[(tg(x/2))^2 +3]}
Y claro esta que aun creo que se puede simplificar aplicando:
(sen(x/2))^2 = (1 - cosx)/2
(cos(x/2))^2 = (1 + cosx)/2
Al dividir entre si mismos:
[tg(x/2)]^2=(1-cosx)/(1+cosx)
En fin para no proceder mas,la respuesta es esta
(1/4)*ln{[3(tg(x/2))^2 + 1]/[(tg(x/2))^2 +3]}
Al transformar en fracciones parciales se obtiene:
${[(3z/2)/(3z^2 + 1)] - [(z/2)/(z^2 +3)]}dz
Ahora podemos descomponer esta integral en 2 partes, siempre que sean continuas en un mismo intervalo
$[(3z/2)/(3z^2 + 1)]dz - $[(z/2)/(z^2 +3)]dz
Ahora se procede a sustituir de nuevo
(3z^2 + 1)=a ,diferenciando
6zdz=da
(z^2 +3)=c ,diferenciando
2zdz=dc
Ahora hay que modificar las integrlaes, para proceder a reemplazar, si te fijas en la primera integral no hay el termino 6z, solo 3z/2,debes saber como adecuar, ¿verdad?
Afuera los numeros
(3/2)*$[z/(3z^2 + 1)]dz - (1/2)*$[z/(z^2 +3)]dz
multiplicar y dividir por 2 cada integral,eso no altera en ndad,puesto que 2/2=1,y 1*algo=algo para estos casos
(6/4)*$[z/(3z^2 + 1)]dz - (2/4)*$[z/(z^2 +3)]dz
introduciendo el umero de afuera convenientemente
(1/4)*$[6z/(3z^2 + 1)]dz - (1/4)*$[2z/(z^2 +3)]dz
Expresar mejor asi las integrales:
(1/4)*$[6zdz/(3z^2 + 1)] - (1/4)*$[2zdz/(z^2 +3)]
Ahora obtenemos lo que se hallo arriba,reemplazar
(1/4)*$[da/a] - (1/4)*$[dc/c]
Ahora easy,esa integral es el logaritmo natural de la variable
(1/4)*[lna] - (1/4)*[lnc]
Ahora solo queda reemplzar todas la variables,hasta obtener en funcion de x
(1/4)*[lna] - (1/4)*[lnc]
(1/4)*[ln(3z^2 + 1)] - (1/4)*[ln(z^2 +3)]
pero z=tg(x/2) >>>>>z^2=[tg(x/2)]^2
(1/4)*ln[3(tg(x/2))^2 + 1] - (1/4)*ln[(tg(x/2))^2 +3],factorizando
(1/4)*{ln[3(tg(x/2))^2 + 1] - ln[(tg(x/2))^2 +3]} ,propiedad logaritmo
(1/4)*ln{[3(tg(x/2))^2 + 1]/[(tg(x/2))^2 +3]}
Y claro esta que aun creo que se puede simplificar aplicando:
(sen(x/2))^2 = (1 - cosx)/2
(cos(x/2))^2 = (1 + cosx)/2
Al dividir entre si mismos:
[tg(x/2)]^2=(1-cosx)/(1+cosx)
En fin para no proceder mas,la respuesta es esta
(1/4)*ln{[3(tg(x/2))^2 + 1]/[(tg(x/2))^2 +3]}
Muchísimas Gracias por contestar.
La verdad es que no entiendo muy bien lo que me has puesto. Lo analizaré tranquilamente a ver si lo logro. Soy pésima en las mates, y estoy aprendiendo por mi misma, pero se ve que tengo otras cosas en la cabeza no se.
Muchas gracias
La verdad es que no entiendo muy bien lo que me has puesto. Lo analizaré tranquilamente a ver si lo logro. Soy pésima en las mates, y estoy aprendiendo por mi misma, pero se ve que tengo otras cosas en la cabeza no se.
Muchas gracias
