Probabilidad y estadísticas

La variable aleatoria binomial tiene complicaciones para hacer cálculos, por eso se aproxima por una distribución normal de media np y desviación sqrt(np(1-p)). Para que la aproximación sea buena se pide que n sea mayor que 30 y que tanto np como n(1-p) sean mayores que 5. En nuestro caso n = 72 cumple olgadamente y np = 72/3= 24, n(1-p) =72·2/3 = 48 también cumplen.
Al pasar a una distribución continua las probabilidades se toman en entornos del punto por de + 0,5 ó - 0,5 de forma que el intervalo sea más grande si la probabilidad incluye el punto límite (<= ó >=) o más pequeño si no incluye el punto ( < ó >)
En nuestro caso si se incluyen los puntos 22 y 28 luego calcularemos esta probabilidad.
P(21,5 <= X <= 28,5) =
Para tipificarla a un a N(0,1) y así poder consultar la tabla, debemos hacer este cambio de variable
Z = (X-media)/(desviacion)
Ya hemos dicho que la media era
np = 72·1/3 = 24
y la desvaición
sqrt(np(1-p) = sqrt (72· 1/3 · 2/3) = sqrt(16) = 4
Haciendo el cambio queda
P((21,5 - 24)/4 <= Z <= (28,5 - 24) / 4) =
P(-2,5/4 <= Z <= 4,5/4) = P (-0,625 <=Z <= 1,125) =
Tabla(1,125) - P(-0,625) = Tabla(1,125) - (1 - tabla(0,625)) =
Dado que las tablas suelen tener dos decimales y aquí hay tres con un 5 de tercero, haré interpolación para un resultado más exacto.
= (Tabla(1,12) + Tabla (1,13)) / 2 -1 + (Tabla(0,62) + Tabla(0,63)) / 2 =
= (0,8686 + 0,8708) / 2 - 1 + (0,7324 + 0,7357) / 2 = 0,86975 - 1 + 0,73405 = 0,6038
Luego la probabilidad es 0,6038