Ecuaciones diferenciales

Habíamos quedado en que la parcial del primer miembro respecto a y era igual a la parcial del segundo respecto a x. En la literatura se suele llamar M el primero y N al segundo.
En vez del símbolo de las parciales usaré & para no tener problemas con el editor.
&M(x,y)/&y = &N(x,y)/&x
Esa es la condición que nos pide la teoría sobre estas ecuaciones para decir que hay una función F(x, y) tal que:
a) &F(x,y)/&x = M(x,y)
b) &F(x,y)/&y = N(x,y)
Tomemos la igualdad a) y la integramos respecto a x
F(x,y) =$M(x,y)dx + C
Como hemos integrado respecto a x, la constante C podemos elegirla como una función exclusivamente de y, ya que al derivarla respecto a x daría cero. Entonces:
F(x,y) = $M(x,y)dx + g(y); [1]
Ahora derivamos respecto a y:
&F(x,y)/&y = & $M(x,y)dx/&y + g'(y)
Por la condición b) tenemos
N(x,y) = & $M(x,y)dx/&y + g'(y); [2]
Y de aquí podemos despejar g'(y) y calcularla mediante integración. Conocida g(y), volvemos a
F(x,y) = $M(x,y)dx + g(y) y obtenemos F(x,y)
Finalmente la solución es F(x,y) = C; [3]
Bueno, todo esto ha sido un poco de teoría que seguramente tendrás mejor en tu libro.
Los pasos a dar son:
M = y(1+cosxy); N = x(1+cosxy)
1) Integrar M respecto a x poniendo g(y) como constante final.
F(x,y) = $y(1+cosxy) dx =
$ydx + $ycosxy dx =
yx + y$cosxydx =
yx +y(1/y)senxy =
yx+senxy + g(y)
2) Derivar lo obtenido respecto de y e igualando a N(x,y) despejar g'(y)
&F(x,y)/&y = x + xcosxy +g'(y)
3) Despejar g'(y) sabiendo que lo obtenido es &F(x,y)/&y = N(x,y)
x(1+cosxy) = x + xcosxy + g'(y)
g'(y) = x(1+cosxy) - x - xcosxy = 0
4) Integrar g'(y)
g(y) = $0dy = C
En este caso ha sido muy fácil porque la ecuación era una birria, en realidad el problema es la ecuación ydx + xdy = 0 obligada a resolver por un método largo.
5) Volver al final del paso 1 colocando el valor de g(y)
F(x,y) = yx+senxy + g(y) = yx + senxy + C
6) Doy la solución por [3]. Bien dejamos lo que ha salido igualado a cero o lo que salido salvo la constante igualado a cero.
yx + senxy = C
Esta solución es implicita. No es posible despejar la y, la dejamos así.
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b) ([xy/sqrt(1+x^2)]+2x) dx + sqrt(1+x^2) dy = 0
M = [xy/sqrt(1+x^2)]+2x
N = sqrt(1+x^2)
sqrt es la raíz cuadrada por si no lo sabías, hay amplio consenso un usarlo.
Primero veamos que es un ecuacion exacta
&M(x,y)/&y = x/sqrt(1+x^2)
&N(x,y)/&x = (1/2)sqrt(1+x^2)·2x = x/sqrt(1+x^2)
Son iguales luego es exacta y podemos usar el método
1) Integrar M(x,y) respecto de x
F(x,y) = $([xy/sqrt(1+x^2)]+2x) dx =
y$[x/sqrt(1+x^2)]dx + $2xdx =
y·sqrt(1+x^2) + x^2 + g(y)
2) Derivamos respecto de y
&F(x,y)/&y = sqrt(1+x^2) + g'(y)
3) Cambiamos &F(x,y)/&y por N(x,y) para despejar g'(y)
sqrt(1+x^2) = sqrt(1+x^2) + g'(y)
g'(y) = sqrt(1+x^2) - sqrt(1+x^2) = 0
4) Integramos g'(y) respecto a y
g(y) = + C
5) Llevamos este valor recien calculado al paso primero
F(x,y) = y·sqrt(1+x^2) + x^2 + g(y) =
sqrt(1+x^2) + x^2 + C =
6) La solución es:
y·sqrt(1+x^2) + x^2 = C
Si se quiere puede ponerse en forma explicita:
y = (C-x^2) / sqrt(1+x^2)
Si se quiere la solución que cumple y(0) = 6 sustituimos la x por cero para calcular C
6 = y(0) = ( C- 0) / sqrt(1+0) = C ==> C=6
y=(6 - x^2) / sqrt(1+x^2)
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(y+1) dx + (x/[2sqrt(y)]+1)dy = 0
Esta no es exacta:
&(y+1)/&y = 1
&(x/[2sqrt(y)]+1)/&x = 1/(2sqrt(y))
Tampoco sé si me piden que la calcule o simplemente que diga cual es la solución particular para y(1) = 4. No tengo muy claro que tengo que hacer en algunos ejercicios como los siguientes. Tal vez me vendría bien que me aclararas que tengo que hacer exactamente.