Ecuaciones diferenciales

(y+1) dx + (x/[2sqrt(y)]+1)dy = 0
Nos habíamos quedado en que no era exacta porque:
&M/&y = &(y+1)/&y = 1
&N/&x = &(x/[2sqrt(y)]+1)/&x = 1/(2sqrt(y))
El factor integrante es una función u(x, y) tal que multiplicado por los dos términos consigue que la ecuación sea exacta. No voy aquí a escribir la teoría que saldrá en tu libro. En general viene a decir que hallar el factor integrante puede ser más complicado que resolver la ecuación inicial salvo en contados casos. Y en este artículo de la Wikipedia dice cuales son estos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial_exacta
Vamos a intentarlo con el que solo depende de y, el segundo caso que menciona
u(y) = e^($[(Nx - My)/M]dy)
Nx es parcial de N respecto de x. Ya estaba calculada arriba lo mismo que My que es parcial de M respecto de y. La integral que debemos resolver es:
$(1/(2sqrt(y)) -1)/(y+1) dy =
Me he pegado buen rato pensando si esto va a ser humano. No creo que te pongan semejante ejercicio.
= $(dy/[2sqrt(y)(y+1)] - $dy/(y+1)
Para la primera integral hacemos el cambio
t = sqrt(y) ==> y = t^2
dt = dy/(2sqrt(y))
= $dt/(t^2+1) - ln(y+1) = arctg(t) - ln(y+1) = arctg(sqrt(y)) - ln(y+1)
Volvemos arriba, donde decía que el factor integrante era e elevado a esto
u(y) = e^[arctg(sqrt(y)) - ln(y+1)] =
por propiedades de la exponenciación y los logaritmos:
= e^[arctg(sqrt(y))] / (y+1)
La ecuación quedaría
(y+1)e^[arctg(sqrt(y))] /(y+1) dx + (x/[2sqrt(y)]+1)e^[arctg(sqrt(y))] /(y+1) dy = 0
e^[arctg(sqrt(y))] dx + (x/[2sqrt(y)]+1)e^[arctg(sqrt(y))] /(y+1) dy = 0
la parcial del primer término respecto a y es
e^arctg(sqrt(y))·[1/(1+y)]·1/[2sqrt(y)] = 1/[2sqrt(y)]e^[arctg(sqrt(y))]/(y+1)
la del segundo es
1/[2sqrt(y)]e^[arctg(sqrt(y))]/(y+1)
es lo mismo, luego tenemos una ecuación exacta.
1) Integramos M respecto a x
F(x,y) = $e^[arctg(sqrt(y))]dx = x·e^[arctg(sqrt(y))] + g(y)
2) Derivamos respecto de y
&F(x,y)/&y=x·e^arctg(sqrt(y))·[1/(1+y)]·1/[2sqrt(y)] + g'(y)=
por ponerlos en el mismo orden que en el segundo miembro
= x/[2sqrt(y)] e^arctg(sqrt(y))·[1/(1+y)] + g'(y)
3)Cambiamos &F(x,y)/&y por N(x,y) para despejar g'(y)
(x/[2sqrt(y)]+1)e^[arctg(sqrt(y))] /(y+1) = x/[2sqrt(y)] e^arctg(sqrt(y))·[1/(1+y)] + g'(y)
si podemos ver entre al maraña deducimos
e^[arctg(sqrt(y))]/(y+1) = g'(y)
4) Integramos g'(y) respecto a y
$e^[arctg(sqrt(y))]/(y+1)dy =
Hacemos el cambio t = sqrt(y) ==> y = t^2
dt = dy/(2sqrt(y)) = dy /2t ==> dy = 2t·dt
$2t·e^arctg(t)/(t^2+1)dt
Esto no hay quien lo integre.
Ya sabía yo que se habían pasado con este problema.
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(x^2)y' + xy = 1
Pongómosla del modo habitual
(x^2)dy/dx + xy = 1
(x^2)dy/dx = 1-xy
(x^2)dy =(1-xy)dx
(xy-1)dx + (x^2)dy =0
M = xy-1
N = x^2
&(xy-1)/&y = x
&(x^2)/&x = 2x
No es exacta, a ver si esta vez encontramos el factor integrante.
Vemos que podemos obtenerlo en funcion de x de la forma e^$[(My-Nx)/N]dx
$[(x-2x)/x^2]dx = $-dx/x = - ln x
e^(-ln x) = 1/(e^ln x) = 1/x
multiplicamos por ese factor y quedará la ecuación exacta, que será:
[(xy-1) / x]dx + x·dy = 0
(y-1/x)dx + x·dy = 0
&(y-1/x)/&y = 1
&x/&x = 1
Si, es exacta y parace que asequible:
1) Integrar M(x,y) respecto de x
F(x,y) = $(y-1/x)dx = yx - ln(y) + g(y)
2) Derivamos respecto de y
&F(x,y)/&y = x - 1/y +g'(y)
3) Cambiamos &F(x,y)/&y por N(x,y) para despejar g'(y)
x = x - 1/y +g'(y) ==>
g'(y) = 1/y
4) Integramos g'(y) respecto a y
g(y) = ln(y) + C
5) Llevamos este valor recien calculado al paso primero
F(x,y) = yx - ln(y) + ln(y) + C = yx + C
GRRR! No me sale, ya lo he repasado varias veces y no encuentro el fallo, voy con el siguiente.
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xdy/dx - 2(x^2)y = e^(x^2)
Las ponemos de otra forma
xdy/dx = e^(x^2) +2yx^2
xdy = [e^(x^2) +2yx^2]dx
[e^(x^2) +2yx^2]dx -xdy = 0
&[e^(x^2) +2yx^2]/&y = 2x^2
&(-x)/&x =-1
No es exacta, le buscamos factor integrante.
Vemos que podemos obtenerlo en funcion de x de la forma e^$[(My-Nx)/N]dx
$(2(x^2) + 1)(-x)dx = $-dx/x + $-2x dx = -ln(x) - x^2
e^(-ln(x) - x^2) = 1/[x·e^(x^2)]
Ese es el factor integrante que multiplicamos en la ecuación
[e^(x^2) +2yx^2]/[x·e^(x^2)]dx - 1/[e^(x^2)]dy = 0
&M/&y = 2(x^2)/[x·e^(x^2)] = 2x/[e^(x^2)]
&N/&x = (1/[e^(x^2)]^2) [e^(x^2)] 2x = 2x/[e^(x^2)]
luego es exacta.
Esta vez haremos el proceso sobre el otro miembro
1) Integrar N(x,y) respecto de y
F(x,y) =- y/[e^(x^2)] + g(x)
2) Derivamos respecto de x
&F(x,y)/&x = 2xy/[e^(x^2)] + g'(x)
3) Cambiamos &F(x,y)/&y por M(x,y) para despejar g'(x)
[e^(x^2) +2yx^2]/[x·e^(x^2)] = 2xy/[e^(x^2)] + g'(x)
1/x + 2yx/[e^(x^2)] = 2xy/[e^(x^2)] + g'(x)
g'(x) = 1/x
4) Integramos g'(x) respecto a x
g(x) = ln(x) + C
5) Llevamos este valor recien calculado al paso primero
F(x,y) = - y/[e^(x^2)] + ln(x) + C
Pongamos como solución general esta:
y/[e^(x^2)] - ln(x) = C
y = [ln(x)+C][e^(x^2)]
¡ALELUYA! Por fin me salió uno.
Esto quiere decir que el 4 esta emparejado con el C.
También sé que el 3 está emparejado con el DE, pero ya ves que no me ha salido bien.
Dame tiempo para que repase ese que no me sale, creo que encontraré el fallo. Y el primero creo que es una barbaridad de problema y no perderé mucho más tiempo en intentarlo.

Hola que tal, mi problema es grave, reprobé matematicasy me iré a extraordinario, la razón es que esta maestra pone las ecuaciones difíciles en los exámenes y las fáciles en clase, así que no tengo la menor idea de como se hacen las ED con fracciones y raíz cuadradas.
A mi nunca me han gustado las matemáticas al contrario las odio, por eso se me dificulta más entender todo esto . aquí tengo las guía que me dio
http://www.mediafire.com/?wtizxsixc1xpffw
Me gustaría que me ayudaran a comprenderlas y resolverlas o que me recomedara algún libro virtual que explicara bien bien como se resuelven, el examen es el 20 de mayo
Estoy desesperado por favor ayuda
El tema de las próximas ecuaciones se llama "ecuaciones diferenciales lineales resueltas mediante factor integrante"
Y perdón me equivoque, mi examen es el 20 de junio, espero y me pueda ayudar, muchas gracias, todo me ha sido de gran ayuda, un saludo.

Cerrare la pregunta para darle más puntos, muchas gracias un saludo