Integración de funciones racionales

Hola quería hacerle una consulta sobre como hacer la integración de funciones racionales del siguiente ejerció
¿Uso a? Como la integral y * como el producto
? Dx/(x.(x-1)^2)
¿Yo resolví algo dije bueno te queda? 1/(x(x-1)^2) * dx entonces use el método de integración racional y que quedaba
1/(x(x-1)^2) = A/x + B/(x-1) +C/(x-1)^2
luego me quedaba
1/(x(x-1)^2) = [A*(x-1)^2 + B(x)(x-1) +C(x)]/ x*(x-1)^2
allí aparece la identidad y puedo simplificar donde me quedo
1= A*(x-1)^2 + B(x)(x-1) +C(x)
Busco las raíces o cuando se hace cero y me da x=1 y por =0 siendo así que pude encontrar el valo r A y C
si es x=1 se me anula A y B y encuentro C
1=C.1 entonces C=1
Si x=0 entonces se anula B y C entonces encuentro A
1= A*(x-1)^2 entonces 1=A*(0-1)^2 entonces 1=A(-1)^2 entonces 1=A
En los casos x=1 y x=0 se me anula b la pregunta es como encuentro el valor de v si se me anula cuando x=0 y x=1 tengo la respuesta del ejercicio pero no se como llegar a el la respuesta del ejercicio es
ln |x -1| -(1/(x-1)) - ln|x-1| + C
Quizás te ayude mando lo que hice así facilito las cosas... Desde ya agradezco la respuesta saludos