Ayuda con un ejercicio de Álgebra lineal
Hola, necesito que alguien me ayude con este ejercicio ya que me examinod e matemáticas el viernes, y suelen caer siempre ejercicios del mismo estilo.
El enunciado es: " Dado el sistema de ecuaciones (2Y+Z-t=0),(X-Y-Z+t=0), (2X-Z+t=0),(3X+Y-Z+t=0) ¿El conjunto W de sus soliciones es un subespacio vectorial de R4? Calcular una base de W.
Si el vector (1,-1,2,0) contenido en W, calcular sus coordenadas en esa base. "
Yo he resuelto el sistema y me queda: X= -alfa ; Y= alfa; Z= Beta ; t= 2alfa+ Beta.
Y se extraen de ahí dos vectores propios. Mi problema es que no se bien lo que me están preguntando. Por favor, a ver si alguien me puede orientar un poco. Gracias
El enunciado es: " Dado el sistema de ecuaciones (2Y+Z-t=0),(X-Y-Z+t=0), (2X-Z+t=0),(3X+Y-Z+t=0) ¿El conjunto W de sus soliciones es un subespacio vectorial de R4? Calcular una base de W.
Si el vector (1,-1,2,0) contenido en W, calcular sus coordenadas en esa base. "
Yo he resuelto el sistema y me queda: X= -alfa ; Y= alfa; Z= Beta ; t= 2alfa+ Beta.
Y se extraen de ahí dos vectores propios. Mi problema es que no se bien lo que me están preguntando. Por favor, a ver si alguien me puede orientar un poco. Gracias
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Consiste en tomar dos verctores linealmente independientes de ese subespacio, que al depender de dos parámetros tiene dimensión 2. Lo más sencillo es conseguirlos tomando alfa = 1 y beta = 0 para el primer vector y alfa=0 y beta=1 para el otro.
Eso nos daría los vectores (-1, 1, 0, 2) y (0, 0, 1, 1) que son una base.
Para calcular las coordenadas del vector (1,-1,2,0) planteamos
a(-1, 1, 0, 2) + b(0, 0, 1, 1) = (1,-1,2,0) luego
-a = 1
a= -1
b= 2
2a + b = 0
Sobran ecuaciones pero las ponemos todas para comprobar que a = -1 y b = 2 cumplen las cuatro ecuaciones y esas son las coordenadas
Eso nos daría los vectores (-1, 1, 0, 2) y (0, 0, 1, 1) que son una base.
Para calcular las coordenadas del vector (1,-1,2,0) planteamos
a(-1, 1, 0, 2) + b(0, 0, 1, 1) = (1,-1,2,0) luego
-a = 1
a= -1
b= 2
2a + b = 0
Sobran ecuaciones pero las ponemos todas para comprobar que a = -1 y b = 2 cumplen las cuatro ecuaciones y esas son las coordenadas
Muchas gracias por responder!
Tengo todavía dudas (soy muy torpe :( ). A ver. ¿Cómo justifico que el conjunto W de las soliciones del sistema es un subespacio vectorial de R4?
Otra cosa: No entiendo muy bien como has conseguido el valor de a y de b, las coordenadas.
Tengo todavía dudas (soy muy torpe :( ). A ver. ¿Cómo justifico que el conjunto W de las soliciones del sistema es un subespacio vectorial de R4?
Otra cosa: No entiendo muy bien como has conseguido el valor de a y de b, las coordenadas.
No sé que dirá en tu libro de curso o apuntes acerca de esto. Me refiero a si hay algún teorema que haga inmediata la demostración. Tampoco sé si estudias COU por ejemplo, o carrera, porque también podría ser distinta la demostración.
Pero siempre podemos acudir a la wikipedia donde escontramos las condiciones para que un conjunto sea subespacio vectorial de otro dado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial
Recordemos:
W ={(-alfa, alfa, beta, 2alfa+beta) | alfa y beta pertenecen a R}
1. W no es vacío. Basta tomar alfa=beta=0 y tienes el (0,0,0,0) que pertenece, aparte muchos mas.
2 W incluido en R4. Obvio, porque alfa y beta pertenecen R y la composición que se hace de ellos pertenece a R4.
3. La suma es interna
Tomemos dos elementos de u y v de W, por construcción tienen la forma:
u = (-x, x, y, 2x+y)
v = (-z, z, t, 2z+t)
u + v = (-x-z, x+z, y+t, 2x+y+2z+t) = (-(x+z), (x+z), (y+t), 2(x+z)+(y+t))
Hemos agrupado términos para que se vea claramente que u+v pertenece a W porque es el elemento que se contruiría a partir de tomar:
alfa = x+z
beta = y+t
En la definición de W.
4. Igual de obvio es demostrar que para todo lambda de R y u de W se cumple:
(Lambda)·u pertenece a W. Basta con tomar como generadores los elementos
Lambda·alfa y lambda·beta
Con ello y bien hecho pudiendo escribir letras griegas y símbolos matématicos se demuestra que W es un subespacio de R4.
----------------------------
Lo del a y b de las coordenadas que no entendiste era el cálculo para saber cuáles eran las coordenadas del punto (1,-1,2,0) respecto de la base (-1, 1, 0, 2) y (0, 0, 1, 1) que es la que yo te propongo como más sencilla.
Si {u,v} es una base de W se verificará que para todo w de W existen unos escalares a, b del cuerpo R tales que w = au + bv. Esas a y b son las coordenadas. Para obtenerlas tenemos que aplicar esa igualdad. Cada elemento de la base se multiplica por el escalar y luego se suman.
(1, -1, 2, 0) = a(-1, 1, 0, 2) + b (0, 0, 1, 1) = (-a, a, 0, 2a) + (0, 0, b, b) =
= (-a, a, b, 2a+b)
Igualando el principio y el final tenemos:
(1, -1, 2, 0) = (-a, a, b, 2a+b)
Dos elementos de R4 son iguales si lo son componente a componente, empezando de primera a última tenemos
1 = -a
-1 = a
2 = b
0 = 2a+ b
De donde salía que:
a=-1 es la cooordenada del primer elemento de la base
B = 2 es la coordenada del segundo elemento de la base
Y eso es todo. Creo que más detallado ya casi sería imposible. Espero que te sirva, lo entiendas y si toca en el examen lo resuelvas bien.
Pero siempre podemos acudir a la wikipedia donde escontramos las condiciones para que un conjunto sea subespacio vectorial de otro dado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial
Recordemos:
W ={(-alfa, alfa, beta, 2alfa+beta) | alfa y beta pertenecen a R}
1. W no es vacío. Basta tomar alfa=beta=0 y tienes el (0,0,0,0) que pertenece, aparte muchos mas.
2 W incluido en R4. Obvio, porque alfa y beta pertenecen R y la composición que se hace de ellos pertenece a R4.
3. La suma es interna
Tomemos dos elementos de u y v de W, por construcción tienen la forma:
u = (-x, x, y, 2x+y)
v = (-z, z, t, 2z+t)
u + v = (-x-z, x+z, y+t, 2x+y+2z+t) = (-(x+z), (x+z), (y+t), 2(x+z)+(y+t))
Hemos agrupado términos para que se vea claramente que u+v pertenece a W porque es el elemento que se contruiría a partir de tomar:
alfa = x+z
beta = y+t
En la definición de W.
4. Igual de obvio es demostrar que para todo lambda de R y u de W se cumple:
(Lambda)·u pertenece a W. Basta con tomar como generadores los elementos
Lambda·alfa y lambda·beta
Con ello y bien hecho pudiendo escribir letras griegas y símbolos matématicos se demuestra que W es un subespacio de R4.
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Lo del a y b de las coordenadas que no entendiste era el cálculo para saber cuáles eran las coordenadas del punto (1,-1,2,0) respecto de la base (-1, 1, 0, 2) y (0, 0, 1, 1) que es la que yo te propongo como más sencilla.
Si {u,v} es una base de W se verificará que para todo w de W existen unos escalares a, b del cuerpo R tales que w = au + bv. Esas a y b son las coordenadas. Para obtenerlas tenemos que aplicar esa igualdad. Cada elemento de la base se multiplica por el escalar y luego se suman.
(1, -1, 2, 0) = a(-1, 1, 0, 2) + b (0, 0, 1, 1) = (-a, a, 0, 2a) + (0, 0, b, b) =
= (-a, a, b, 2a+b)
Igualando el principio y el final tenemos:
(1, -1, 2, 0) = (-a, a, b, 2a+b)
Dos elementos de R4 son iguales si lo son componente a componente, empezando de primera a última tenemos
1 = -a
-1 = a
2 = b
0 = 2a+ b
De donde salía que:
a=-1 es la cooordenada del primer elemento de la base
B = 2 es la coordenada del segundo elemento de la base
Y eso es todo. Creo que más detallado ya casi sería imposible. Espero que te sirva, lo entiendas y si toca en el examen lo resuelvas bien.
! Que cuco el Diodo¡ ¡Haciendo la cuarta parte que yo se lleva los puntos de responder dos veces! Yo que no quise responder a las dos por dejar una a otro experto, viene este y saca dos resapuestas no se de dónde. Aparte a él ya le habían dado la base, en mi pregunta aún no aparecía.
