Propiedades de Transformación Lineal

Ya había contestado en la otra parte de la pregunta a lo del núcleo, pero se me olvidó lo de la Imagen.
El núcleo y la Imagen tienen dimensiones complementarias cuando la función es de un espacio en si mismo, ahora lo verás si no lo sabías.
1) La función era f(x,y,z) = (kx, ky, kz)
El núcleo ya calculado era (0,0,0) y la imagen es todo R3
En efecto, sea un (x, y, z) cualquiera de R3, si tomamos el vector v = (x/k, y/k, z/k)
tendremos f(v) = (x, y ,z)
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2) La funcion era f(x,y,z) = (x, y, 0).
El núcleo ya dijimos que era ker f = {(0,0,z) | z de R}
La imagen es de dimensión 2. Im f = {(x, y, 0) | x, y de R}
En efecto, la función siempre entrega 0 en la tercera coordenada, luego solo los vectores con 0 en ella pueden pertenecer a la imagen. Y dado cualquier vector (x, y, 0) tomamos el (x, y, z) con z lo que queramos y f(x,y,z) ) = (x,y,0)
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3) La función era f(x,y) = sqrt(2)/2 (x-y, x+y)
Ker f = 0 y la imagen será todo R2
Dado (r, s) de R2
resolvemos el sistema de dos ecuaciones
x·sqrt(2)/2 - y sqrt(2)/2 = r
x·sqrt(2)/2 + y sqrt(2)/2 = s
y encontraremos el (x,y). Tiene siempre solución porque el derterminante es 2/4+2/4=1
Las soluciones son:
x = (r+s) / sqrt(2)
y = (s-r) / sqrt(2)
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4) f(x, y, z) = (x+y+2z, -x+y+2z, 2y+4z)
El ker f = {(0, -2z, z) | z de R}
Y la imagen es Im f = {(x, y, x+y) | para todo x, y de R}
En efecto, ya vimos y podemos ver de nuevo que la tercera componente de la función es la suma de las dos primeras, luego en el conjunto imagen siempre sucederá eso.
Ahora dado cualquier vector cumpliendo eso veamos que existe un (x, y, z) cuya imagen es ese vector.
Sea (r, s, r+s) la imagen
x + y + 2z = r
-x +y + 2z = s
Podemos dar un valor arbitrario a una variable, por ejemplo z=0 para mayor facilidad
x+y = r
-x+y = s
Sumando 2y = r+s ==> y = (r+s) / 2
x = r-y = r - (r+s)/2 = (2r - r - s) / 2 = (r -s) /2
Y el vector v = ((r-s)/2, (r+s)/2, 0) nos dará la imagen (r, s, r+s)
f((r-s)/2, (r+s)/2, 0) = ((r-s)/2 + (r+s)/2 + 2·0, -(r-s)/2 + (r+s)/2 + 2·0, 2(r+s)/2 + 4·0) =
(r, s, r+s)
Y con eso queda demostrado que Im f = {(x, y, x+y) | para todo x, y de R}
Y ahora ya está completo todo el problema en unión con la respuesta anterior. No olvides puntuarlas para cerrar la pregunta.