Ejercicio integracio calculo 3
B) (doble integral de) |x-y| dxdy , sobre la region D acotada por la grafica de y= x^2 y y=4, el limite de integracion es D
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
He aquí la imagen del dominio. Es lo que hay dentro de las líneas azul y negra.
La recta roja es la y= x. Ya habíamos dicho en el ejercicio anterior que la función
|x-y| = y - x si el punto (x,y) está en la parte superio de la recta y = x
|x-y| = x - y si el punto (x,y está en la parte inferior.
Vemos que en la mayoría del dominio usaremos y - por, pero hay un trocito donde habrá que usar por - y.
Vamos por tanto a descomponer el dominio en cuatro trozos y vamos a trazar los límites de integración.
a) x € [-2,0]; y € [x^2, 4]; f(x) = y - x
b) x € [0,1]; y € [x^2, x]; f(x) = x - y
c) x € [0,1]; y € [x, 4]; f(x) = y - x
d) x € [1,2]; y € [x^2, 4]; f(x) = y - x
El a y d son similares nos evitaremos algún cálculo:
a y d)
$${(y-x) dy con y € [x^2,4]}dx con x €[-2,0] U [1,2] =
${(y^2)/2 - xy con y € [x^2,4]}dx con x €[-2,0] U [1,2] =
${16/2 - 4x - (x^4)/2 + x^3}dx con x €[-2,0] U [1,2] =
8x - 2x^2 - (x^5)/10 + (x^4)/4 con x €[-2,0] U [1,2] =
Ojo con liarse, los cuatro del 0 son cero y no figuran, los 4 primeros del -2, los 4 siguientes del 2 y los últimos del 1
16 + 8 - 32/10 - 16/4 + 16 - 8 - 32/10 + 16/4 - 8 + 2 + 1/10 - 1/4 =
16 - 32/10 + 16 - 32/10 - 8 + 2 + 1/10 - 1/4 = 26 - 63/10 -1/4 = (520 - 126 - 5) / 20 =
= 389/20
b)
$${(x-y) dy con y € [x^2,x]}dx con x € [0,1] =
${xy - (y^2)/2 con y € [x^2,x]}dx con x € [0,1] =
${x^2 - (x^2)/2 - x^3 + (x^4)/2}dx con x € [0,1] =
${(x^2)/2 - x^3 + (x^4)/2}dx con x € [0,1] =
(x^3)/6 - (x^4)/4 + (x^5)/10 con x € [0,1] =
1/6 - 1/4 + 1/10 = (10 -15 + 6) / 60 =
= 1/60
c)
$${(y-x) dy con y € [x,4]}dx con x € [0,1] =
${(y^2)/2 - xy con y € [x,4]}dx con x € [0,1] =
${16/2 - 4x - (x^2)/2 + x^2}dx con x € [0,1] =
${16/2 - 4x + (x^2)/2}dx con x € [0,1] =
8x - 2x^2 + (x^3)/6 con x € [0,1] =
8 - 2 + 1/6 =
= 37/6
-------
Luego el total será la suma:
389/20 + 1/60 + 37/6 = (389·3 + 1 + 370) / 60 = 1538 /60 = 769 /30
Y la integral vale 769 /30
Bueno, eso espero, que valga eso, porque con tanta operación ha podido haber algún despiste. Pero lo principal es que lo hallas entendido. Si no, pide las aclaraciones que quieras. NO olvides puntuar.
La recta roja es la y= x. Ya habíamos dicho en el ejercicio anterior que la función
|x-y| = y - x si el punto (x,y) está en la parte superio de la recta y = x
|x-y| = x - y si el punto (x,y está en la parte inferior.
Vemos que en la mayoría del dominio usaremos y - por, pero hay un trocito donde habrá que usar por - y.
Vamos por tanto a descomponer el dominio en cuatro trozos y vamos a trazar los límites de integración.
a) x € [-2,0]; y € [x^2, 4]; f(x) = y - x
b) x € [0,1]; y € [x^2, x]; f(x) = x - y
c) x € [0,1]; y € [x, 4]; f(x) = y - x
d) x € [1,2]; y € [x^2, 4]; f(x) = y - x
El a y d son similares nos evitaremos algún cálculo:
a y d)
$${(y-x) dy con y € [x^2,4]}dx con x €[-2,0] U [1,2] =
${(y^2)/2 - xy con y € [x^2,4]}dx con x €[-2,0] U [1,2] =
${16/2 - 4x - (x^4)/2 + x^3}dx con x €[-2,0] U [1,2] =
8x - 2x^2 - (x^5)/10 + (x^4)/4 con x €[-2,0] U [1,2] =
Ojo con liarse, los cuatro del 0 son cero y no figuran, los 4 primeros del -2, los 4 siguientes del 2 y los últimos del 1
16 + 8 - 32/10 - 16/4 + 16 - 8 - 32/10 + 16/4 - 8 + 2 + 1/10 - 1/4 =
16 - 32/10 + 16 - 32/10 - 8 + 2 + 1/10 - 1/4 = 26 - 63/10 -1/4 = (520 - 126 - 5) / 20 =
= 389/20
b)
$${(x-y) dy con y € [x^2,x]}dx con x € [0,1] =
${xy - (y^2)/2 con y € [x^2,x]}dx con x € [0,1] =
${x^2 - (x^2)/2 - x^3 + (x^4)/2}dx con x € [0,1] =
${(x^2)/2 - x^3 + (x^4)/2}dx con x € [0,1] =
(x^3)/6 - (x^4)/4 + (x^5)/10 con x € [0,1] =
1/6 - 1/4 + 1/10 = (10 -15 + 6) / 60 =
= 1/60
c)
$${(y-x) dy con y € [x,4]}dx con x € [0,1] =
${(y^2)/2 - xy con y € [x,4]}dx con x € [0,1] =
${16/2 - 4x - (x^2)/2 + x^2}dx con x € [0,1] =
${16/2 - 4x + (x^2)/2}dx con x € [0,1] =
8x - 2x^2 + (x^3)/6 con x € [0,1] =
8 - 2 + 1/6 =
= 37/6
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Luego el total será la suma:
389/20 + 1/60 + 37/6 = (389·3 + 1 + 370) / 60 = 1538 /60 = 769 /30
Y la integral vale 769 /30
Bueno, eso espero, que valga eso, porque con tanta operación ha podido haber algún despiste. Pero lo principal es que lo hallas entendido. Si no, pide las aclaraciones que quieras. NO olvides puntuar.
