Área y perímetro

1)
Como el hexágono regular tiene 6 lados, dentro de del hexágono se forman 6 triángulos, el ángulo central de cada uno será 60º y los otros dos ángulos que son iguales miden (180º - 60º) / 2 = 60º, luego los tres ángulos miden 60º y el triángulo es equilátero.
Los lados que parten del centro miden el radio, que es 4 cm, y el externo también mide 4 cm por ser el triángulo equilátero, luego el perímetro será 6·4 = 24cm
Para calcular el área habría que calcular la altura de cada triángulo. Ponemos uno de pie y trazamos su altura h. Esta divide el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales.
En cada uno de ellos la hipotenusa es 4 y el cateto conocido mide la mitad, 2cm. Aplicamos Pitágoras:
4^2 = 2^2 + h^2
h^2 = 16 - 4
h = sqrt(12)
Area de cada triángulo = b·h/2 = 4·sqrt(12)/2 = 2·sqrt(12)
Como son 6 triángulos
Area hexágono = 6·2·sqrt(12) = 12sqrt(12) = 41,569219 cm^2
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2)
No sé si en tu libro habrá alguna fórmula para hacerlo rápidamente. Yo voy a tener que deducir y puede que sea muy largo.
Lo primero calcularemos la relación entre la base y la altura de un triángulo equilátero. Lo dividimos en dos triángulos rectángulos como antes y aplicamos Pitágoras teniendo en cuenta que la hipotenusa mide lo ismo que la base y el cateto conocido mide la mitad de la base
b^2 = h^2 + (b/2)^2
b^2 = h^2 + (b^2)/4
b^2- b^2/4 = h^2
(3/4)b^2 = h^2
sacando raíz cuadrada
h = b·sqrt(3)/2
Si el hexágono tiene 24,3 de área, cada triángulo tiene 24,3/6 = 4,05 cm^2
Sustituyamos en la fórmula del área la expresión de la altura que hemos hallado. Esto servirá para calcular la base, aunque con el cuadrado de la base nos sería suficiente.
4,05 = b·h/2 = (b·b·sqrt(3)/2)/2 = (b^2)sqrt(3)/4
b^2 = 4,05·4/sqrt(3) = 16,2/1,7320508 = 9,3530744
b = sqrt(9,3530744) = 3,0582796 cm
La base del triángulo es el radio. Luego el areá del sector de 60º será
Area sector 60º = PI·(r^2)/6 = 3,1415927 · 9,3530744 / 6 = 4,8972583 cm^2
Y eso es todo. Un poco complicada esta parte segunda pero yo no sé de otro método más sencillo. Si tienes alguna duda pide explicaciones. NO olvides puntuar.