Funciones aritméticas 3
7) Demostrar lo siguiente:
a) Tau(n) es un entero impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto
b) Delta(n) es un entero impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto o dos veces un cuadrado perfecto
Nota: si p es un primo impar, entonces 1 + p + p ^ 2 + ... P ^ que es impar sólo cuando que es par.
a) Tau(n) es un entero impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto
b) Delta(n) es un entero impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto o dos veces un cuadrado perfecto
Nota: si p es un primo impar, entonces 1 + p + p ^ 2 + ... P ^ que es impar sólo cuando que es par.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Dianis 1556!
7a)
Tau(n) es el número de divisores de n. Los divisores de n van por parejas, si de divide a n entonces n/d también divide a n puesto que d(n/d) = n
==>)
Si tau(n) es impar hay un divisor cuya paraja es ella misma, es decir:
d = n/d ==> n = d^2
Luego n es un cuadrado perfecto
<==)
Iremos contabilizando los divisores, cada vez que aparezca 1 contamos también su pareja. Si el primero es menor que sqrt(n), el segundo será mayor que sqrt(n), y así hasta llegar a la sqrt(n) que será el último y solo se contabilizara una vez como divisor con lo que el número total de divisores será impar.
--------------
7b)
Delta(n) es la suma de los divisores de un número.
En la página 112 del libro aparece una forma de evaluar delta(n) mediante un producto
delta(n) = (1+p1+p1^2+p1^3+...+p1^k1)(1+p2+...+p2^k2)(1+pr+...+pr^kr)
donde pi para 1=1,2,...,r son los factores primos de n y ki los respectivos exponentes.
==>
Supongamos que delta(n) es impar
Para que delta(n) sea impar deben serlo todos los factores de la forma
(1+pi+pi^2+...+pi^ki)
Puesto que nada más que haya uno par el resultado final será siempre par
Y la nota te dice que si pi es impar entonces esa suma es impar cuando ki sea par.
Luego los exponentes de los factores primos impares deben ser pares.
Queda por ver que pasa con (1+2+2^2+...+2^k2).
Esa suma es siempre impar luego k2 puede ser par como impar, no importa.
En resumen hemos supuesto delta(n) de impar y hemops llegado a la conclusión de que los factores primos impares deben tener exponentes pares y el factor primo 2 puede tener lo que quiera.
Si el factor primo de 2 es par, son todos los factores primos pares y eso significa que n es un cuadrado perfecto. Si el exponente de 2 es impar, al dividir n por 2 queda par y n/2 es un cuadrado perfecto por lo que n es dos veces un cuadrado perfecto.
<==)
Si es cuadrado perfecto todos los exponentes serán pares, si es 2 veces cuadrado perfecto lo serán todos menos el del 2.
Las factores (1+pi+pi^2+...+pi^ki) serán todos impares y su producto será impar.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides cerrar la pregunta.
7a)
Tau(n) es el número de divisores de n. Los divisores de n van por parejas, si de divide a n entonces n/d también divide a n puesto que d(n/d) = n
==>)
Si tau(n) es impar hay un divisor cuya paraja es ella misma, es decir:
d = n/d ==> n = d^2
Luego n es un cuadrado perfecto
<==)
Iremos contabilizando los divisores, cada vez que aparezca 1 contamos también su pareja. Si el primero es menor que sqrt(n), el segundo será mayor que sqrt(n), y así hasta llegar a la sqrt(n) que será el último y solo se contabilizara una vez como divisor con lo que el número total de divisores será impar.
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7b)
Delta(n) es la suma de los divisores de un número.
En la página 112 del libro aparece una forma de evaluar delta(n) mediante un producto
delta(n) = (1+p1+p1^2+p1^3+...+p1^k1)(1+p2+...+p2^k2)(1+pr+...+pr^kr)
donde pi para 1=1,2,...,r son los factores primos de n y ki los respectivos exponentes.
==>
Supongamos que delta(n) es impar
Para que delta(n) sea impar deben serlo todos los factores de la forma
(1+pi+pi^2+...+pi^ki)
Puesto que nada más que haya uno par el resultado final será siempre par
Y la nota te dice que si pi es impar entonces esa suma es impar cuando ki sea par.
Luego los exponentes de los factores primos impares deben ser pares.
Queda por ver que pasa con (1+2+2^2+...+2^k2).
Esa suma es siempre impar luego k2 puede ser par como impar, no importa.
En resumen hemos supuesto delta(n) de impar y hemops llegado a la conclusión de que los factores primos impares deben tener exponentes pares y el factor primo 2 puede tener lo que quiera.
Si el factor primo de 2 es par, son todos los factores primos pares y eso significa que n es un cuadrado perfecto. Si el exponente de 2 es impar, al dividir n por 2 queda par y n/2 es un cuadrado perfecto por lo que n es dos veces un cuadrado perfecto.
<==)
Si es cuadrado perfecto todos los exponentes serán pares, si es 2 veces cuadrado perfecto lo serán todos menos el del 2.
Las factores (1+pi+pi^2+...+pi^ki) serán todos impares y su producto será impar.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides cerrar la pregunta.
