Funciones aritméticas
1) Sea m y n enteros positivos y p1, p2, ... Pr son los distintos números primos que dividen al menos uno de m o n. Entonces m y n se puede escribir de la siguiente forma con
m= p1^(k1)p2^(k2)...pr^(kr) con ki (mayor igual) 0 para i= 1,2,... R
n= p1^(j1)p2^(j2)...pr^(jr) con ji (mayor igual) 0 para i= 1,2,... R
demostrar que gcd(m,n)= p1^(u1)p2^(u2)...pr(ur) lcm(m,n)=p1^(v1)p2^(v2)...pr(vr)
donde ui= min(ki,ji) y vi= max (ki,ji)
2) Usar el resultado del problema 1 para calcular el gcd(12378, 3054) y el lcm( 12378, 3054)
3)Deducir del problema 1 el gcd(m, n) lcm(m, n)=mn de m y n enteros positivos
4) En la notación del problema 1, demostrar que gcd (m, n) = 1 si y sólo si ki ji =0 para i=1,2,...r
Agradezco su oportuna ayuda... Para serle más sincera son los ejercicios del elemental number theory de burton el cap 6.3
gracias
m= p1^(k1)p2^(k2)...pr^(kr) con ki (mayor igual) 0 para i= 1,2,... R
n= p1^(j1)p2^(j2)...pr^(jr) con ji (mayor igual) 0 para i= 1,2,... R
demostrar que gcd(m,n)= p1^(u1)p2^(u2)...pr(ur) lcm(m,n)=p1^(v1)p2^(v2)...pr(vr)
donde ui= min(ki,ji) y vi= max (ki,ji)
2) Usar el resultado del problema 1 para calcular el gcd(12378, 3054) y el lcm( 12378, 3054)
3)Deducir del problema 1 el gcd(m, n) lcm(m, n)=mn de m y n enteros positivos
4) En la notación del problema 1, demostrar que gcd (m, n) = 1 si y sólo si ki ji =0 para i=1,2,...r
Agradezco su oportuna ayuda... Para serle más sincera son los ejercicios del elemental number theory de burton el cap 6.3
gracias
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Dianis 1556!
Es lo que nos enseñaron en básica en el colegio, que los comunes con menor exponente para el mcd y los comunes y no comunes con el máximo exponente para el mcm. Es algo tan trivial que da no sé qué el ponerse a demostrarlo.
Si tomamos como ui el mínimo de cada par de exponentes para cada factor primo donde unos son los de m y otros los de n, entonces cada factor pi^u(i) dividirá tanto a m como a n y el producto de todos esos pi^ui también dividirá a ambos, luego será un disor de m y n.
Si tomamos otro divisor de de n y m y lo descomponemos en factores primos tendrá que tener factores primos comunes de m y n y no podrá tener mayor exponente que el menor de ellos. Nada más que contravenga esto dejará de ser divisor común de n y m. Pero con los ui ya hicimos la exhaustiva tarea de elegir los factores y exponentes máximos que podían tomarse, luego los de de serán como mucho los que teníamos o inferiores y entonces de dividirá al número que habíamos creado, de será más pequeño o igual que el que hemos creado. Y por eso el número que hemos creado es el máximo de los divisores comunes de m y m, es el máximo común divisor.
Para el mínimo común múltiplo es similar. Por construcción, el número creado es un múltiplo de n y m, ya que tendrá todos los factores de n y m con el mayor exponente, será n por algo y m por algo. Si venimos ahora con otro múltiplo de m y n tendrá que tener los factores de uno y otro y con los máximos exponentes, porque nada más que incumpla eso para algún factor primo dejará de ser múltiplo de ambos. Pero el número que construimos con los ui es el mínimo que cumple eso, nada más que restemos una unidad a un exponente deja de ser múltiplo común. Por tanto ese múltiplo con el que venimos será mayor o igual que el que habíamos construido y el construido es el mínimo común múltiplo.
2)Mcd y mcm de 12378 y 3054
12378 = 2 · 3 · 2063
3054 = 2 · 3 · 509
mcd (12378, 3054) = 2^1 · 3^1 · 2063^0 · 509^0 = 2 · 3 · 1 · 1 = 6
mcn(12378, 3054) = 2^1 · 3^1 · 2063^1 · 3054^1 = 37802412
3) Para todos los factores primos pi de m y n tenemos unos exponentes ki y ji (cuando un factor primo no divide al otro número ese exponente es el cero). Por construcción, al mcd van los exponentes menores de cada paraeja y al mcm los mayores, luego todos ellos se distribuyen entre el mcd y el mcm. De suerte que al hacer el producto del mcd por el mcm aparecen exactamente los factores primos originales con exponentes la suma de ki y ji. Y ese descomposición factorial se corresponde con la de mn. Y como dos números con igual descomposición factorial son iguales tenemos que
mcd(n, m) · mcm(n, m) = nm
4) Si mcd(n, m) =1 es porque todos los exponentes que le han tocado son cero, es decir en todas las parejas ki, ji había un cero, luego ki·ji = 0
Y eso es todo, espero que te sirva y lo entiendas. NO olvides puntuar.
Es lo que nos enseñaron en básica en el colegio, que los comunes con menor exponente para el mcd y los comunes y no comunes con el máximo exponente para el mcm. Es algo tan trivial que da no sé qué el ponerse a demostrarlo.
Si tomamos como ui el mínimo de cada par de exponentes para cada factor primo donde unos son los de m y otros los de n, entonces cada factor pi^u(i) dividirá tanto a m como a n y el producto de todos esos pi^ui también dividirá a ambos, luego será un disor de m y n.
Si tomamos otro divisor de de n y m y lo descomponemos en factores primos tendrá que tener factores primos comunes de m y n y no podrá tener mayor exponente que el menor de ellos. Nada más que contravenga esto dejará de ser divisor común de n y m. Pero con los ui ya hicimos la exhaustiva tarea de elegir los factores y exponentes máximos que podían tomarse, luego los de de serán como mucho los que teníamos o inferiores y entonces de dividirá al número que habíamos creado, de será más pequeño o igual que el que hemos creado. Y por eso el número que hemos creado es el máximo de los divisores comunes de m y m, es el máximo común divisor.
Para el mínimo común múltiplo es similar. Por construcción, el número creado es un múltiplo de n y m, ya que tendrá todos los factores de n y m con el mayor exponente, será n por algo y m por algo. Si venimos ahora con otro múltiplo de m y n tendrá que tener los factores de uno y otro y con los máximos exponentes, porque nada más que incumpla eso para algún factor primo dejará de ser múltiplo de ambos. Pero el número que construimos con los ui es el mínimo que cumple eso, nada más que restemos una unidad a un exponente deja de ser múltiplo común. Por tanto ese múltiplo con el que venimos será mayor o igual que el que habíamos construido y el construido es el mínimo común múltiplo.
2)Mcd y mcm de 12378 y 3054
12378 = 2 · 3 · 2063
3054 = 2 · 3 · 509
mcd (12378, 3054) = 2^1 · 3^1 · 2063^0 · 509^0 = 2 · 3 · 1 · 1 = 6
mcn(12378, 3054) = 2^1 · 3^1 · 2063^1 · 3054^1 = 37802412
3) Para todos los factores primos pi de m y n tenemos unos exponentes ki y ji (cuando un factor primo no divide al otro número ese exponente es el cero). Por construcción, al mcd van los exponentes menores de cada paraeja y al mcm los mayores, luego todos ellos se distribuyen entre el mcd y el mcm. De suerte que al hacer el producto del mcd por el mcm aparecen exactamente los factores primos originales con exponentes la suma de ki y ji. Y ese descomposición factorial se corresponde con la de mn. Y como dos números con igual descomposición factorial son iguales tenemos que
mcd(n, m) · mcm(n, m) = nm
4) Si mcd(n, m) =1 es porque todos los exponentes que le han tocado son cero, es decir en todas las parejas ki, ji había un cero, luego ki·ji = 0
Y eso es todo, espero que te sirva y lo entiendas. NO olvides puntuar.
