Funciones aritméticas 4
1) Si n no es un entero cuadrado, demuestre que tau(n) =2^r, donde r es el numero de primos divisores de n
2)Establezca los siguientes enunciados:
a)si n=p1^(k1)p2^(k2)...pr^(kr) es la factorizacion principal de n (mayor que) 1 donde
1(mayor que) (n/delta(n)) (mayor que) (1 - (1/p1)) (1 - (1/p2))... (1 - (1/pr))
b) Para algún entero positivo n
delta(n!)/n! (mayor igual que) 1+1/2+1/3+...+1/n
c) Si n (mayor que)1 es un numero compuesto, entonces delta(n) (mayor que) n + raíz de n
(Ayuda: dado d/n, donde 1(menor que) de (menor que) n, como 1 (menor que) n/d (menor que) n . Si de (menor igual que) raíz de n, entonces n/d (mayor igual que ) raíz de n)
2)Establezca los siguientes enunciados:
a)si n=p1^(k1)p2^(k2)...pr^(kr) es la factorizacion principal de n (mayor que) 1 donde
1(mayor que) (n/delta(n)) (mayor que) (1 - (1/p1)) (1 - (1/p2))... (1 - (1/pr))
b) Para algún entero positivo n
delta(n!)/n! (mayor igual que) 1+1/2+1/3+...+1/n
c) Si n (mayor que)1 es un numero compuesto, entonces delta(n) (mayor que) n + raíz de n
(Ayuda: dado d/n, donde 1(menor que) de (menor que) n, como 1 (menor que) n/d (menor que) n . Si de (menor igual que) raíz de n, entonces n/d (mayor igual que ) raíz de n)
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Dianis 1556!
1) El enunciado en ingles dice algo más fuerte, no dice que no sea un entero cuadrado sino un número libre de cuadrados. Esto segundo implica que los factores primos tienen todos exponente 1, mientras que no cuadrado implicaba que eran impares.
La demostración por inducción.
Si tiene un solo primo como divisor este el propio numero y los divisores son 1 y n que son 2^1.
Supongamos se cumple para r primos divisores, el número de disores es 2^r. Si añadimos un nuevo primo divisor los disvisores serán todos los de antes más esos mismos multiplicados por el primo divisor nuevo. Y tau(n) va a resultar ser 2(2^r) = 2^(r+1)
--------------------
2) Si n=p1^(k1)p2^(k2)... pr^(kr) es la factorizacion principal de n > 1 entonces
1 > (n/delta(n)) > (1 - (1/p1)) (1 - (1/p2))... (1 - (1/pr))
delta(n) >= 1+n ya que esos divisores son los menos que puede tener
n/delta(n) <= n / (1+n) < 1
Eso demuestra la primera desigualdad.
Ahora la segunda:
n/delta(n) = p1^k1···pr^kr / [([p1^(k1+1)-1] / [p1-1])···([pr^(kr+1)-1] / [pr-1])] >
Es una pena pero no se ve nada, en realidad hay tres filas una arriba con el producto de los los pi^ki, debajo la linea de fracción principal, debajo la fila con el producto de los pi^(ki+1)-1, debajo un línea y debajo del todo el producto de los (pi -1).
Vamos a sustituir los pi^(ki+1)-1 por pi^(ki+1). El producto nuevo va a ser mayor porque cada factor tendrá una unidad más. Pero este producto va a dividir por ir en el denominador justo debajo de la línea principal, luego el efecto va a ser que tendremos una cantidad total menor que la primera.
> p1^k1···pr^kr / [([p1^(k1+1)] / [p1-1])···([pr^(kr+1)] / [pr-1])] =
Y ahora simplificaremos cada pi^ki con el pi^(ki+1) quedando pi en el denominador y asimismo los pi-1 de la segunda línea del denominador pasan a ser primera linea de numerador. Queda esto:
= (p1-1)(p2-1)···(pr-1) / (p1·p2···pr) =
Y ahora agrupamos factores homólogos del numerador y denominador y operamos de este modo (pi-1) / pi = (1 - 1/pi)
= (1 - 1/p1) (1 - 1/p2)···(1 - 1/pr)
Para comprender la segunda pongamos divisor común en cada paréntesis
[(p1-1) / p1][(p2-1) / p2][(p3-1) / p3]···[(pr-1) / pr]
1) El enunciado en ingles dice algo más fuerte, no dice que no sea un entero cuadrado sino un número libre de cuadrados. Esto segundo implica que los factores primos tienen todos exponente 1, mientras que no cuadrado implicaba que eran impares.
La demostración por inducción.
Si tiene un solo primo como divisor este el propio numero y los divisores son 1 y n que son 2^1.
Supongamos se cumple para r primos divisores, el número de disores es 2^r. Si añadimos un nuevo primo divisor los disvisores serán todos los de antes más esos mismos multiplicados por el primo divisor nuevo. Y tau(n) va a resultar ser 2(2^r) = 2^(r+1)
--------------------
2) Si n=p1^(k1)p2^(k2)... pr^(kr) es la factorizacion principal de n > 1 entonces
1 > (n/delta(n)) > (1 - (1/p1)) (1 - (1/p2))... (1 - (1/pr))
delta(n) >= 1+n ya que esos divisores son los menos que puede tener
n/delta(n) <= n / (1+n) < 1
Eso demuestra la primera desigualdad.
Ahora la segunda:
n/delta(n) = p1^k1···pr^kr / [([p1^(k1+1)-1] / [p1-1])···([pr^(kr+1)-1] / [pr-1])] >
Es una pena pero no se ve nada, en realidad hay tres filas una arriba con el producto de los los pi^ki, debajo la linea de fracción principal, debajo la fila con el producto de los pi^(ki+1)-1, debajo un línea y debajo del todo el producto de los (pi -1).
Vamos a sustituir los pi^(ki+1)-1 por pi^(ki+1). El producto nuevo va a ser mayor porque cada factor tendrá una unidad más. Pero este producto va a dividir por ir en el denominador justo debajo de la línea principal, luego el efecto va a ser que tendremos una cantidad total menor que la primera.
> p1^k1···pr^kr / [([p1^(k1+1)] / [p1-1])···([pr^(kr+1)] / [pr-1])] =
Y ahora simplificaremos cada pi^ki con el pi^(ki+1) quedando pi en el denominador y asimismo los pi-1 de la segunda línea del denominador pasan a ser primera linea de numerador. Queda esto:
= (p1-1)(p2-1)···(pr-1) / (p1·p2···pr) =
Y ahora agrupamos factores homólogos del numerador y denominador y operamos de este modo (pi-1) / pi = (1 - 1/pi)
= (1 - 1/p1) (1 - 1/p2)···(1 - 1/pr)
Para comprender la segunda pongamos divisor común en cada paréntesis
[(p1-1) / p1][(p2-1) / p2][(p3-1) / p3]···[(pr-1) / pr]
Deja que arregle lo que te mandé que está mal porque se colgó el editor o el Firefox y no podía ni escribir ni guardar lo escrito.
Dianis 1556!
1) El enunciado en ingles dice algo más fuerte, no dice que no sea un entero cuadrado sino un número libre de cuadrados. Esto segundo implica que los factores primos tienen todos exponente 1, mientras que no cuadrado implicaba que eran impares.
La demostración por inducción.
Si tiene un solo primo como divisor este el propio numero y los divisores son 1 y n que son 2^1.
Supongamos se cumple para r primos divisores, el número de disores es 2^r. Si añadimos un nuevo primo divisor los disvisores serán todos los de antes más esos mismos multiplicados por el primo divisor nuevo. Y tau(n) va a resultar ser 2(2^r) = 2^(r+1)
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2) Si n=p1^(k1)p2^(k2)... pr^(kr) es la factorizacion principal de n > 1 entonces 1 > (n/delta(n)) > (1 - (1/p1)) (1 - (1/p2))... (1 - (1/pr))
delta(n) >= 1+n ya que esos divisores son los menos que puede tener
n/delta(n) <= n / (1+n) < 1
Eso demuestra la primera desigualdad.
Ahora la segunda:
n/delta(n) = p1^k1···pr^kr / [([p1^(k1+1)-1] / [p1-1])···([pr^(kr+1)-1] / [pr-1])] >
Es una pena pero no se ve nada, en realidad hay tres filas una arriba con el producto de los los pi^ki, debajo la linea de fracción principal, debajo la fila con el producto de los pi^(ki+1)-1, debajo un línea y debajo del todo el producto de los (pi -1).
Vamos a sustituir los pi^(ki+1)-1 por pi^(ki+1). El producto nuevo va a ser mayor porque cada factor tendrá una unidad más. Pero este producto va a dividir por ir en el denominador justo debajo de la línea principal, luego el efecto va a ser que tendremos una cantidad total menor que la primera.
> p1^k1···pr^kr / [([p1^(k1+1)] / [p1-1])···([pr^(kr+1)] / [pr-1])] =
Y ahora simplificaremos cada pi^ki con el pi^(ki+1) quedando pi en el denominador y asimismo los pi-1 de la segunda línea del denominador pasan a ser primera linea de numerador. Queda esto:
= (p1-1)(p2-1)···(pr-1) / (p1·p2···pr) =
Y ahora agrupamos factores homólogos del numerador y denominador y operamos de este modo (pi-1) / pi = (1 - 1/pi)
= (1 - 1/p1) (1 - 1/p2)···(1 - 1/pr)
En resumen, la desigualdad que hay entre el principio y fin de la cadena de desigualdades es:
n/delta(n) > (1 - 1/p1) (1 - 1/p2)···(1 - 1/pr)
Que es precisamente lo que nos pedían.
Y antes que vuelva a colgarse esto te lo mando con los ejercicios 1 y 2a ya hechos.
Porque no puntúas ya y mandas lo que queda en otra pregunta.
1) El enunciado en ingles dice algo más fuerte, no dice que no sea un entero cuadrado sino un número libre de cuadrados. Esto segundo implica que los factores primos tienen todos exponente 1, mientras que no cuadrado implicaba que eran impares.
La demostración por inducción.
Si tiene un solo primo como divisor este el propio numero y los divisores son 1 y n que son 2^1.
Supongamos se cumple para r primos divisores, el número de disores es 2^r. Si añadimos un nuevo primo divisor los disvisores serán todos los de antes más esos mismos multiplicados por el primo divisor nuevo. Y tau(n) va a resultar ser 2(2^r) = 2^(r+1)
--------------------
2) Si n=p1^(k1)p2^(k2)... pr^(kr) es la factorizacion principal de n > 1 entonces 1 > (n/delta(n)) > (1 - (1/p1)) (1 - (1/p2))... (1 - (1/pr))
delta(n) >= 1+n ya que esos divisores son los menos que puede tener
n/delta(n) <= n / (1+n) < 1
Eso demuestra la primera desigualdad.
Ahora la segunda:
n/delta(n) = p1^k1···pr^kr / [([p1^(k1+1)-1] / [p1-1])···([pr^(kr+1)-1] / [pr-1])] >
Es una pena pero no se ve nada, en realidad hay tres filas una arriba con el producto de los los pi^ki, debajo la linea de fracción principal, debajo la fila con el producto de los pi^(ki+1)-1, debajo un línea y debajo del todo el producto de los (pi -1).
Vamos a sustituir los pi^(ki+1)-1 por pi^(ki+1). El producto nuevo va a ser mayor porque cada factor tendrá una unidad más. Pero este producto va a dividir por ir en el denominador justo debajo de la línea principal, luego el efecto va a ser que tendremos una cantidad total menor que la primera.
> p1^k1···pr^kr / [([p1^(k1+1)] / [p1-1])···([pr^(kr+1)] / [pr-1])] =
Y ahora simplificaremos cada pi^ki con el pi^(ki+1) quedando pi en el denominador y asimismo los pi-1 de la segunda línea del denominador pasan a ser primera linea de numerador. Queda esto:
= (p1-1)(p2-1)···(pr-1) / (p1·p2···pr) =
Y ahora agrupamos factores homólogos del numerador y denominador y operamos de este modo (pi-1) / pi = (1 - 1/pi)
= (1 - 1/p1) (1 - 1/p2)···(1 - 1/pr)
En resumen, la desigualdad que hay entre el principio y fin de la cadena de desigualdades es:
n/delta(n) > (1 - 1/p1) (1 - 1/p2)···(1 - 1/pr)
Que es precisamente lo que nos pedían.
Y antes que vuelva a colgarse esto te lo mando con los ejercicios 1 y 2a ya hechos.
Porque no puntúas ya y mandas lo que queda en otra pregunta.
