Función aritmética...
18) ¿Sea f y g funciones multiplicativas que no son igual a cero y tal que f (p^k) = g(p^k) para cada primo p y k? (mayor igual que ) 1. Probar que f = g
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Antes de nada decirte que tuve un fallo en el ejercicio que decía averiguar la forma de todos los números que verifican tau(n) = 10
Tau(n) = (k1+1)(k2+1)(k3+1)...(kr +1)
Luego son muchas las formas que ahora te las madaré pero te pongo ya en guardia.
Luego rectifico esa respuesta y contestaré a esta si me la sé.
Tau(n) = (k1+1)(k2+1)(k3+1)...(kr +1)
Luego son muchas las formas que ahora te las madaré pero te pongo ya en guardia.
Luego rectifico esa respuesta y contestaré a esta si me la sé.
huy gracias... menos mal gracias
Las formas son de hacer (k1+1)(k2+1)(k3+1)...(kr +1) = 10 son estas
a) k1 = 9
n = p1^9
b)k1 = 4 y k2 = 1
n = p1^4 · p2 con p1<>p2
Resumiendo, las formas son:
a) n = p1^9
b) n = p1^4 · p2 con p1<>p2
Calculemos como se obtiene el más pequeño
a = 2^9 = 512
b = 2^4 · 3 = 16·3 = 48
Luego 48 es el número más pequeño con tau(n) =10
Te mando ya la corrección e ese ejercicio anterior. Ahora miraré que tal es esta pregunta.
a) k1 = 9
n = p1^9
b)k1 = 4 y k2 = 1
n = p1^4 · p2 con p1<>p2
Resumiendo, las formas son:
a) n = p1^9
b) n = p1^4 · p2 con p1<>p2
Calculemos como se obtiene el más pequeño
a = 2^9 = 512
b = 2^4 · 3 = 16·3 = 48
Luego 48 es el número más pequeño con tau(n) =10
Te mando ya la corrección e ese ejercicio anterior. Ahora miraré que tal es esta pregunta.
Listo super...
Una función multiplicativa es la que cumple:
a) f(1) = 1
b) f(m·n) = f(m) f(n) cuando m y n son coprimos
Eso dice la Wikipedia, en el libro no impone la condición a).
¿Sean f y g funciones multiplicativas que no son igual a cero y tal que f (p^k) = g(p^k) para cada primo p y k? (mayor igual que ) 1. probar que f = g
Tomemos un número cualquiera mayor que 1 ya hacemos la descomposición en facores primos
n = p1^k1 · p2^k2 ··· pr^kr
Veamos que f(n) = g(n)
Tomaremos n dividido en dos factores p1^k1 y el resto del multiplicatorio. Los dos factores son coprimos, su mcd es 1
f(n) = f(p1^k1) · f(resto)
El resto lo volvemos a dividir en p2^k2 y el resto2
f(n) = f(p1^k1) · f(p2^k2) · f(resto2)
Y repteindo el proceso.
f(n) = f(p1^k1) · f(p2^k2) ··· f(pr^kr)
Exactamente el mismo proceso se puede hacer con g y queda
g(n) = g(p1^k1) · g(p2^k2) ··· g(pr^kr)
Pero f y g coinciden cuando evaluan factores primos pi^ki y se obtiene
f(n) = g(n)
Y eso para cualquier n, luego f = g
Y eso es todo.
a) f(1) = 1
b) f(m·n) = f(m) f(n) cuando m y n son coprimos
Eso dice la Wikipedia, en el libro no impone la condición a).
¿Sean f y g funciones multiplicativas que no son igual a cero y tal que f (p^k) = g(p^k) para cada primo p y k? (mayor igual que ) 1. probar que f = g
Tomemos un número cualquiera mayor que 1 ya hacemos la descomposición en facores primos
n = p1^k1 · p2^k2 ··· pr^kr
Veamos que f(n) = g(n)
Tomaremos n dividido en dos factores p1^k1 y el resto del multiplicatorio. Los dos factores son coprimos, su mcd es 1
f(n) = f(p1^k1) · f(resto)
El resto lo volvemos a dividir en p2^k2 y el resto2
f(n) = f(p1^k1) · f(p2^k2) · f(resto2)
Y repteindo el proceso.
f(n) = f(p1^k1) · f(p2^k2) ··· f(pr^kr)
Exactamente el mismo proceso se puede hacer con g y queda
g(n) = g(p1^k1) · g(p2^k2) ··· g(pr^kr)
Pero f y g coinciden cuando evaluan factores primos pi^ki y se obtiene
f(n) = g(n)
Y eso para cualquier n, luego f = g
Y eso es todo.
