Func... Aritmética
20)omega(n) el número de divisores primos distintos de n (mayor que)1, con omega(1) = 0. Por ejemplo, omega (360) = omega (2 ^ 3 ^ 2 · 3 · 5) = 3
a) Demostrar que 2^(omega (n)) es una función multiplicativa
b) Para un entero positivo n, establecer la fórmula
tau(n^2) = (Signo sumatoria) de / n de 2 ^ omega (d)
a) Demostrar que 2^(omega (n)) es una función multiplicativa
b) Para un entero positivo n, establecer la fórmula
tau(n^2) = (Signo sumatoria) de / n de 2 ^ omega (d)
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Dianis 1556!
a)
Sean n y m números coprimos entre si
Hay que demostrar que 2^omega(nm) = 2^omega(n)·2^omega(m)
Pero eso sucede siempre por las propiedades de la función exponencial, no solo sucederá para los n y m coprimos, sino para cualesquiera.
b) para un entero positivo n, establecer la fórmula
tau(n^2) = Sumatorio en d|n de 2 ^ omega (d)
Sea n = p1^k1 · p2^k2 ··· pr^kr
n^2 = p1^(2k1) · p2^(2k2) ··· pr^(2kr)
Tau(n^2) = (2k1 + 1) (2k2 + 1)···(2kr + 1)
Este producto se compone de 2^r sumandos que son todas las combinaciones posibles de los 2ki, tomadas de cero en cero, una en una, dos en dos hasta r en r. He ahí unos ejemplos de sumandos posibles
2k1·2k2····2Kr
2k1·2k2····2kr-2
2k3·2k7
1
Cada sumando de estos representa a un divisor de n^2
Me parece que ando algo perdido y tengo que echarme ya a dormir.
Necesitaría que me dijeras que número de ejercicio es este y en que página del libro está, no me hago la idea si no veo la fórmula.
a)
Sean n y m números coprimos entre si
Hay que demostrar que 2^omega(nm) = 2^omega(n)·2^omega(m)
Pero eso sucede siempre por las propiedades de la función exponencial, no solo sucederá para los n y m coprimos, sino para cualesquiera.
b) para un entero positivo n, establecer la fórmula
tau(n^2) = Sumatorio en d|n de 2 ^ omega (d)
Sea n = p1^k1 · p2^k2 ··· pr^kr
n^2 = p1^(2k1) · p2^(2k2) ··· pr^(2kr)
Tau(n^2) = (2k1 + 1) (2k2 + 1)···(2kr + 1)
Este producto se compone de 2^r sumandos que son todas las combinaciones posibles de los 2ki, tomadas de cero en cero, una en una, dos en dos hasta r en r. He ahí unos ejemplos de sumandos posibles
2k1·2k2····2Kr
2k1·2k2····2kr-2
2k3·2k7
1
Cada sumando de estos representa a un divisor de n^2
Me parece que ando algo perdido y tengo que echarme ya a dormir.
Necesitaría que me dijeras que número de ejercicio es este y en que página del libro está, no me hago la idea si no veo la fórmula.
Este esta en elementary number theory del capitulo 6.1 ejercicio 20
Que lo vi, pero no pensaba que era él, porque la letra griega que aparece en el libro es la rho y yo andaba buscando una omega. Dejame que llame rho a la función antes llamada omega. Ahora simplemente estoy de pasada, no me pondré a resolver hasta la madrugada en España, dentro de unas ocho horas más o menos.
Listo vale...
Gracias
Gracias
Lo dicho, la función pasa a llamarse rho. Además veo que el ejercicio está muy mal traducido la función rho no es el número de factores primos distintos sino 2 elevado al número de factores primos distintos. La parte que decía demostrar que 2^omega era multiplicativa pasa a ser demostrar que rho es multiplicativa y se demuestra de igual forma.
Y en la parte b) me das una fórmula para que la demuestre que me ha vuelto medio loco porque me parece que estaba mal, mientras que el ejercicio original dice que hay que encontrar una fórmula para:
F(n) = Sumatorio en d|n de rho(d) en términos de la factorización de n
No tienen nada que ver los enunciados.
Esta parte b será así:
Sea n = p1^k1·p2^k2···pr^kr
El número de divisores de n es (k1 + 1)(k2 + 1)···(kr + 1)
el 1 contribuye con 1 a F(n)
Los divisores con un solo factor primo son
pi, pi^2, ..., pi^ki. Serán r grupos con ki divisores cada uno y cad divisor contribuirá con 2^1 a Fn
Los que tienen dos factores primos.
Pi·pj, pi·pj^2,..., pi·pj^k2, pi^2·pj, ..., pi^2·pj^k2... Serán combinaciones de r tomadas de dos en dos C(r, 2), cada una con ki·kj divisores y contribuyendo cada uno con 2^2 a F(n)
En general con m factores primos hay C(r, m) combinaciones cada una de ellas con el producto de m ki's y contribuyendo con 2^m
Pues todo esto que parece tan complejo de recontar es una operación tan sencilla como hacer esta multiplicación:
F(n) = (2k1+1)(2k2+1)···(2kr+1)
Ahí se suman los rho de todos los divisores:
Si los divisores son de un solo factor primo obtenemos su rho tomando un 2ki en un paréntesis y en los demás el 1. Ese 2ki será precisamente la contribución de todos los divisores par un i fijo de la forma pi^j con 1 <= j <= ki a F(n)
Si tienen dos factores tomamos 2ki en un paréntesis, 2kj en otro y el resto unos. El producto será ki·kj·2^2, que será la suma de los rho de todos los divisores con i, j determinados de la forma
(pi^kx)·(pj^ky) con 1 <= x <= ki y 1 <= y <= kj
Y en general se ve que el omega de cualquier divisor será sumado al hacer esta multiplicación.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido, aunque puede ser algo complicado. Te agradecería me mandaras el número y capitulo de cada ejercicio que me preguntes porque he visto algunos que discrepan mucho de lo que dice en el libro
Y en la parte b) me das una fórmula para que la demuestre que me ha vuelto medio loco porque me parece que estaba mal, mientras que el ejercicio original dice que hay que encontrar una fórmula para:
F(n) = Sumatorio en d|n de rho(d) en términos de la factorización de n
No tienen nada que ver los enunciados.
Esta parte b será así:
Sea n = p1^k1·p2^k2···pr^kr
El número de divisores de n es (k1 + 1)(k2 + 1)···(kr + 1)
el 1 contribuye con 1 a F(n)
Los divisores con un solo factor primo son
pi, pi^2, ..., pi^ki. Serán r grupos con ki divisores cada uno y cad divisor contribuirá con 2^1 a Fn
Los que tienen dos factores primos.
Pi·pj, pi·pj^2,..., pi·pj^k2, pi^2·pj, ..., pi^2·pj^k2... Serán combinaciones de r tomadas de dos en dos C(r, 2), cada una con ki·kj divisores y contribuyendo cada uno con 2^2 a F(n)
En general con m factores primos hay C(r, m) combinaciones cada una de ellas con el producto de m ki's y contribuyendo con 2^m
Pues todo esto que parece tan complejo de recontar es una operación tan sencilla como hacer esta multiplicación:
F(n) = (2k1+1)(2k2+1)···(2kr+1)
Ahí se suman los rho de todos los divisores:
Si los divisores son de un solo factor primo obtenemos su rho tomando un 2ki en un paréntesis y en los demás el 1. Ese 2ki será precisamente la contribución de todos los divisores par un i fijo de la forma pi^j con 1 <= j <= ki a F(n)
Si tienen dos factores tomamos 2ki en un paréntesis, 2kj en otro y el resto unos. El producto será ki·kj·2^2, que será la suma de los rho de todos los divisores con i, j determinados de la forma
(pi^kx)·(pj^ky) con 1 <= x <= ki y 1 <= y <= kj
Y en general se ve que el omega de cualquier divisor será sumado al hacer esta multiplicación.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido, aunque puede ser algo complicado. Te agradecería me mandaras el número y capitulo de cada ejercicio que me preguntes porque he visto algunos que discrepan mucho de lo que dice en el libro
