Función aritméticas

a)
Si n = (p1^k1)···(pr^kr)
Sigma(n) = [p1^(k1+1) -1](p1-1)···[pr^(kr+1) -1](pr-1)
Como n=2^(k-1) solo hay un factor primo, el 2, y k1 = k-1
sigma(n) = (2^k - 1) / 1 = 2^k - 1 = 2 · 2^(k-1) -1 = 2 · n - 1
Que es justamente lo que nos pedían demostrar
b) Difiere ligeramente el enunciado de lo escrito
Si 2^k - 3 es primo entonces n = 2^(k-1)·(2^k - 3) satisface la ecuación sigma(n)=2n-2
Tambien dice k>= 2
Sigma es una función multiplicativa, entonces daod dos numeros p y q coprimos se verifica
sigma(pq) = sigma(p)·sigma(q)
Aqui los números a aplicarles esto son p=(2^k)-3 y q=2^(k-1)
del primero nos dicen que es primo p = (2^k)-3
(p+3) / 2 = [(2^k)-3+3] / 2 = 2^(k-1) =q
luego q = (p+3) / 2
tengamos en cuenta que p=(2^k)-3 primo ==> k>= 3
y para k>=3 siempre se cumple 2^(k-1) < (2^k) - 3 puede comprobarse si no se ve claro.
Por lo tanto que < p y son coprimos porque un número primo (tal como es p) es coprimo con todos los enteros menores que el.
Luego sigma(pq) = sigma(p)sigma(q) popr ser p y q coprimos
q es de la forma q=2^(k-1), ya vimos antes que Sigma(q) = 2q-1
Como p es primo sigma(p) = 1+p
Luego
sigma(pq) = sigma(p)sigma(q) = (1+p)(2q-1) =
Recordemos que arriba decíamos q = (p+3) /2 ==> 2q-1 = p+2
luego sigma(pq) = (1+p)(p+2) = p^2 + 3p +2
Mientras que n = pq = p(p+3)/2 = (p^2 + 3p)/2 ==>
2n + 2 = p^2 + 3p +2
Luego Sigma(n) = sigma(pq) = 2n + 2
Y eso nos pedía demostrar y ya está demostrado. Ojala lo hallas entendido.