Func. Aritmética

Veamos si es cierto lo que dice la pista.
Llamemos iz(n) a la función del lado izquierdo
Sean n y m números coprimos. Como ya vimos en un ejercicio hecho antes los divisores de n·m son los divisores de n por los divisores de m. Es decir, un d|(nm) es d=ef con e|n y f|m
iz(nm) = Sumatorio en d|(nm) de tau(d)^3 = Sumatorio en e|n y f|m de tau(ef)^3 =
Pero tau es multiplicativa, no se si en la teoría en en algún ejercicio está probado, luego
= Sumatorio en e|n y f|m de [tau(e)·tau(f)]^3 =
= Sumatorio en e|n y f|m de [tau(e)]^3 · [tau(f)]^3
= (Sumatorio en e|n de [tau(e)^3]) (Sumatorio en f|m de [tau(f)^3] = iz(n)·iz(m)
luego la parte izquierda es multiplicativa
Ahora llamemos de(n) a la función del lado derecho y veamos que es multiplicativa. Como siempre sean n y m números coprimos.
de(nm) = [Sumatorio en d|(nm) de tau(d)]^2 =
[Sumatorio en e|n y f|m de de tau(ef)]^2 =
Como tau es multiplicativa
[Sumatorio en e|n y f|m de tau(e)·tau(f)]^2 =
([Sumatorio en e|n de tau(e)] · [Sumatorio en f|m de tau(f)])^2 =
[Sumatorio en e|n de tau(e)] ^2 · [Sumatorio en f|m de tau(f)]^2=
de(n)·de(m)
Luego ambos lados son multiplicativos y basta demostrar la igualdad para un n del tipo n=p^k donde p es primo
p^k tiene como divisores, el 1, p, p^2,..., p^k. Además tau(p^i) = i+1
iz(p^k) = 1^3 + 2^3 + ... + (k+1)^3
de(p^k) = (1 + 2 +...+(k+1))^2 =
de(p^k) se calcula fácilmente por el término general de una sucesión aritmética
de(p^k) = [(k+2)(k+1)/2]^2
Ahora demostremos por inducción que iz(p^k) vale eso
para k=1
iz(p^1) = 1+2^3= 9
de(p^1) = (3·2/2)^2 = 9
supongamos se cumple para i, veamos que se cumple para i +1
1^3+2^3+...+(i+1)^3 = [(i+2)(i+1)/2]^2 ==>
1^3+2^3+...+(i+1)^3+(i+2)^3 = [(i+2)(i+1)/2]^2 +(i+2)^3 =
=[(i+2)(i+1)]^2 / 4 + (i+2)^3 = {[(i+2)(i+1)]^2 + 4(i+2)^3} / 4 =
=(i+2)^2 · [(i+1)^2 + 4(i+2)] / 4 = (i+2)^2 · [i^2+2i+1+4i+8] / 4 =
(i+2)^2 . (i^2+6i+9) / 4 = (i+2)^2 · (i+3)^2 / 4 = [(i+3)(i+2)/2]^2
luego iz(p^(i+1)) = de(p^(i+1))
Y con esto demostramos que iz(p^k) = de(p^k) para todo k € N
Y por las propiedades de las funciones multiplicativas esa igualdad se extiende a todos los números pues los números con más de un factor primo se calcularán como multiplicaciones de números iguales en la izquierda y la derecha.
Y eso es todo.