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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
ok... gracias
Dianis 1556!
Es imprescindible el gráfico para entender la complejidad del problema.
Aunque previamente calculamos los puntos de intersección de ambas circunferencias.
De x^2 + (y-2)^2 = 2
(y-2)^2 = 2 - x^2
Como tomamos la parte de abajo
y-2 = -sqrt(2-x^2)
y = 2 - sqrt(2-x^2)
De x^2 + y^2 = 4
y = sqrt(4-x^2)
Luego:
2 - sqrt(2-x^2) = sqrt(4-x^2)
4 + 2 - x^2 - 4 sqrt(2-x^2) = 4 - x^2
2 - 4 sqrt(2-x^2) = 0
4sqrt(2-x^2) = 2
16(2-x^2) = 4
2 - x^2 = 1/4
x^2 = 2 - 1/4 = 7 / 4
x = +- sqrt(7)/2
y = sqrt(4-x^2) = sqrt(4-7/4) = sqrt(9/4) = 3/2
Los puntos de intersección son (-sqrt(7)/2, 3/2) y (sqrt(7)/2, 3/2)
Toda la zona coloreada es el área que nos piden.
La parte verde no es necesario integrarla
Área verde = (1/2)PI[sqrt(2)]^2 = PI
Area amarilla = |2 $$dydx en x€[sqrt(7)/2, sqrt(2)]; y€[2-sqrt(2-x^2), 2]|
Area azul =|2 $$dydx en x€[0, sqrt(7)/2]; y€[sqrt(4-x^2), 2]|
Calculemos
Área Amarilla. Tras la integración respecto a y que da y, su sustitución y simplificación queda
Area amarilla = 2 |$sqrt(2-x^2)dx en x€[sqrt(7)/2, sqrt(2)]|
Hagamos la integral indefinida con el cambio
x = sqrt(2)seny
dx = sqrt(2)cosy·dy
$sqrt(2-x^2)dx = $sqrt(2-2sen^2(y))·sqrt(2)cosydy = 2$cos^2(y)dy =
Usamos la fórmula trigonométrica cos^2(a) = [1 +cos(2a)]/2
= $(1+cos(2y) dy = y + (1/2)sen2y =
Deshaciendo el cambio
= arcsen(x/sqrt(2)) + sen(2arcsen(x/sqrt(2))) =
El seno del doble de un ángulo a es 2·sena·cosa. En nuestro caso conocemos sena=x/sqrt(2) y por ende cosa=sqrt(1-sen^2(a) = sqrt[1-(x^2)/2]. Luego
2cosasena=2(x/sqrt(2))(sqrt[1-(x^2)/2] =(x·sqrt (2-x^2))/2
Bueno, recapitulamos:
$sqrt(2-x^2)dx = arcsen(x/sqrt(2)) + (x·sqrt (2-x^2))/2
Ahora calculamos la definida en el intervalo [sqrt(7)/2, sqrt(2)] =
arcsen(1) + sqrt(2)sqrt(0)/2 - arcsen([sqrt(7)/2]/sqrt(2)) - (1/2)[sqrt(7)/2]sqrt(2-7/4)=
PI/2 - arcsen(sqrt(7/8)) - sqrt(7)/8 = 1,5707963 - 1,2094292 - 0,3307189 = 0,0306481
Area amarilla = 2 |0,0306481| = 0,0612963
¡Qué lio me he montado! No puedo seguir se mue hizo muy tarde, ya lo terminaré, aun falta calcular el área azul.
Es imprescindible el gráfico para entender la complejidad del problema.
Aunque previamente calculamos los puntos de intersección de ambas circunferencias.
De x^2 + (y-2)^2 = 2
(y-2)^2 = 2 - x^2
Como tomamos la parte de abajo
y-2 = -sqrt(2-x^2)
y = 2 - sqrt(2-x^2)
De x^2 + y^2 = 4
y = sqrt(4-x^2)
Luego:
2 - sqrt(2-x^2) = sqrt(4-x^2)
4 + 2 - x^2 - 4 sqrt(2-x^2) = 4 - x^2
2 - 4 sqrt(2-x^2) = 0
4sqrt(2-x^2) = 2
16(2-x^2) = 4
2 - x^2 = 1/4
x^2 = 2 - 1/4 = 7 / 4
x = +- sqrt(7)/2
y = sqrt(4-x^2) = sqrt(4-7/4) = sqrt(9/4) = 3/2
Los puntos de intersección son (-sqrt(7)/2, 3/2) y (sqrt(7)/2, 3/2)
Toda la zona coloreada es el área que nos piden.
La parte verde no es necesario integrarla
Área verde = (1/2)PI[sqrt(2)]^2 = PI
Area amarilla = |2 $$dydx en x€[sqrt(7)/2, sqrt(2)]; y€[2-sqrt(2-x^2), 2]|
Area azul =|2 $$dydx en x€[0, sqrt(7)/2]; y€[sqrt(4-x^2), 2]|
Calculemos
Área Amarilla. Tras la integración respecto a y que da y, su sustitución y simplificación queda
Area amarilla = 2 |$sqrt(2-x^2)dx en x€[sqrt(7)/2, sqrt(2)]|
Hagamos la integral indefinida con el cambio
x = sqrt(2)seny
dx = sqrt(2)cosy·dy
$sqrt(2-x^2)dx = $sqrt(2-2sen^2(y))·sqrt(2)cosydy = 2$cos^2(y)dy =
Usamos la fórmula trigonométrica cos^2(a) = [1 +cos(2a)]/2
= $(1+cos(2y) dy = y + (1/2)sen2y =
Deshaciendo el cambio
= arcsen(x/sqrt(2)) + sen(2arcsen(x/sqrt(2))) =
El seno del doble de un ángulo a es 2·sena·cosa. En nuestro caso conocemos sena=x/sqrt(2) y por ende cosa=sqrt(1-sen^2(a) = sqrt[1-(x^2)/2]. Luego
2cosasena=2(x/sqrt(2))(sqrt[1-(x^2)/2] =(x·sqrt (2-x^2))/2
Bueno, recapitulamos:
$sqrt(2-x^2)dx = arcsen(x/sqrt(2)) + (x·sqrt (2-x^2))/2
Ahora calculamos la definida en el intervalo [sqrt(7)/2, sqrt(2)] =
arcsen(1) + sqrt(2)sqrt(0)/2 - arcsen([sqrt(7)/2]/sqrt(2)) - (1/2)[sqrt(7)/2]sqrt(2-7/4)=
PI/2 - arcsen(sqrt(7/8)) - sqrt(7)/8 = 1,5707963 - 1,2094292 - 0,3307189 = 0,0306481
Area amarilla = 2 |0,0306481| = 0,0612963
¡Qué lio me he montado! No puedo seguir se mue hizo muy tarde, ya lo terminaré, aun falta calcular el área azul.
Venga, vamos a calcular el área azul. Antes planteábamos el área amarilla como una integral doble. Nos podemos ahorrar la primera integración sobre y, simplemente vemos que gemétricamente esa área azul es la diferencia entre al área hasta la recta y = 2 y la función y =sqrt(4-x^2), es decir la integral simple de la función diferencia de esas dos.
Area azul = 2 |$[2-sqrt(4-x^2)]dx con x€(0,sqrt(7)/2)|
Hagamos de momento la indefinida de lo raro, que como es igual que la anterior la despacharemos sin explicaciones
$sqrt(4-x^2) =$4cos^2(y)dt = 2$(1+cos(2y))dt = 2y + sen(2y) =
x=2seny; dx=2cosy·dy
= 2arcsen(x/2) + sen(2arcsen(x/2)) =
Si el sen de un ángulo a mide x/2, el sen del ángulo 2a mide 2sena·cosa
2(x/2)sqrt(1-(x/2)^2)= (x/2)sqrt(4-x^2)
Seguimos con el cálculo:
= 2arcsen(x/2) + (x/2)sqrt(4-x^2)
Y ahora calculamos esto en los límites [0, sqrt(7)/2]
2arcsen[sqrt(7)/4] + [sqrt(7)/4]sqrt(4-7/4) - 2arcsen(0) - 0 =
1,4454685 + sqrt(63)/8 = 2,4376252
Luego
$sqrt(4-x^2)dx con x€(0,sqrt(7)/2) = 2,4376252
Bueno, volvamos atras que dejamos cosas pendientes
Area azul = 2 |$[2-sqrt(4-x^2)]dx con x€(0,sqrt(7)/2)|
Dejamos $2dx con x€(0,sqrt(7)/2)| = sqrt(7)
Area azul = 2 |sqrt(7) - 2,4376252| = 0,4162522
Y por fin:
Area verde + Area amarilla + Area Azul = 3,1415927 + 0,0612963 + 0,4162522
AREA TOTAL = 3,6191412
Y eso es todo.
Area azul = 2 |$[2-sqrt(4-x^2)]dx con x€(0,sqrt(7)/2)|
Hagamos de momento la indefinida de lo raro, que como es igual que la anterior la despacharemos sin explicaciones
$sqrt(4-x^2) =$4cos^2(y)dt = 2$(1+cos(2y))dt = 2y + sen(2y) =
x=2seny; dx=2cosy·dy
= 2arcsen(x/2) + sen(2arcsen(x/2)) =
Si el sen de un ángulo a mide x/2, el sen del ángulo 2a mide 2sena·cosa
2(x/2)sqrt(1-(x/2)^2)= (x/2)sqrt(4-x^2)
Seguimos con el cálculo:
= 2arcsen(x/2) + (x/2)sqrt(4-x^2)
Y ahora calculamos esto en los límites [0, sqrt(7)/2]
2arcsen[sqrt(7)/4] + [sqrt(7)/4]sqrt(4-7/4) - 2arcsen(0) - 0 =
1,4454685 + sqrt(63)/8 = 2,4376252
Luego
$sqrt(4-x^2)dx con x€(0,sqrt(7)/2) = 2,4376252
Bueno, volvamos atras que dejamos cosas pendientes
Area azul = 2 |$[2-sqrt(4-x^2)]dx con x€(0,sqrt(7)/2)|
Dejamos $2dx con x€(0,sqrt(7)/2)| = sqrt(7)
Area azul = 2 |sqrt(7) - 2,4376252| = 0,4162522
Y por fin:
Area verde + Area amarilla + Area Azul = 3,1415927 + 0,0612963 + 0,4162522
AREA TOTAL = 3,6191412
Y eso es todo.
