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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Dianis 1556!
No entiendo que quiere decir la integral triple yzdv. Aparte de la dv que no es diferencial de ninguna de las variables por, y, z, resulta que el problema de calcular un volumen estaría perfectamente definido con el enunciado posterior. Yo creo que habría quitar es e comienzo y resolver con lo que queda
No entiendo que quiere decir la integral triple yzdv. Aparte de la dv que no es diferencial de ninguna de las variables por, y, z, resulta que el problema de calcular un volumen estaría perfectamente definido con el enunciado posterior. Yo creo que habría quitar es e comienzo y resolver con lo que queda
Listo... me parece... pues así no lo die el profe pero si...
Es que si es una integral triple para calcular un volumen el dominio ya es todo el volumen y es la integral triple de la identidad lo que hay que hacer, en todo caso sería $$$dxdydz lo que debería poner. Si es una integral doble entonces si que admite una función dentro z=f(x, y) que es la función que hace de techo del objeto que calculamos el volumen.
Pero esta combinación y encima con un dv no se lo que quiere decir y dudo que sea un problema de volumen.
Esta noche hago el otro y hago este tal como creo que debería ser.
Pero esta combinación y encima con un dv no se lo que quiere decir y dudo que sea un problema de volumen.
Esta noche hago el otro y hago este tal como creo que debería ser.
Ok gracias
Bueno el problema a queda así entonces, calcular el volumen de la región del espacio delimitida por el plano z=0 como base, el plano z= y como altura y el cilindro x^2+y^2=4 como pared lateral. Creo que es bastante sencilllo de intuir.
El plano z=y será negativo cuando y sea negativo y no será el techo sino lo contrario, luego solo debemos integrar cuando la y sea positiva.
El dominio de integración es por tanto medio circulo con x€[-2, 2] e y€[0,sqrt(4-x^2)]
V$${ydy en y€[0,sqrt(4-x^2)]}dx en x€[-2,2] =
${(y^2)/2 en y€[0,sqrt(4-x^2)]}dx en x€[-2,2]=
$ (4-x^2)/2 dx en x€[-2,2] =
2x - (1/6)x^3 en x€[-2,2] =
4 - 8/6 +4 - 8/6 = 8 - 16/6 = (48-16)/6 = 32/6 = 16/3
-------------------
b) En este haremos el dibujo que es menos claro
En este caso es el cilindro caso el que hace de techo. Pero como nos dicen que la integral sea triple tendremos que expresarlo como dominio en lugar de hacer una doble y ponerlo como función a integrar.
Los límites son bien claros:
En x€[1,4]
En y entre el cero y el radio del cilindro luego y€[0,1]
En z la altura desde 0 hasta el valor de la función cilindro que depende de y. Luego z€[0,sqrt(1-y^2)]
Y la función a integrar es la identidad porque el dominio ya contiene las tres dimensiones
$$$dz en z€[0,sqrt(1-y^2)] dy en y€[0,1] dx en x€[1,4]
$${sqrt(1-y^2)dy en y€[0,1]}dx en x€[1,4]
Ya hicimos ayer dos integrales de este tipo, además sabemos que eso no es otra cosa que la cuarta parte del circulo de radio 1 luego la integral más interna vale PI/4
$PI/4dx en x€[1,4] = PI/4 · x en [1,4] = PI - PI/4 = (3/4)PI
Y eso es todo.
El plano z=y será negativo cuando y sea negativo y no será el techo sino lo contrario, luego solo debemos integrar cuando la y sea positiva.
El dominio de integración es por tanto medio circulo con x€[-2, 2] e y€[0,sqrt(4-x^2)]
V$${ydy en y€[0,sqrt(4-x^2)]}dx en x€[-2,2] =
${(y^2)/2 en y€[0,sqrt(4-x^2)]}dx en x€[-2,2]=
$ (4-x^2)/2 dx en x€[-2,2] =
2x - (1/6)x^3 en x€[-2,2] =
4 - 8/6 +4 - 8/6 = 8 - 16/6 = (48-16)/6 = 32/6 = 16/3
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b) En este haremos el dibujo que es menos claro
En este caso es el cilindro caso el que hace de techo. Pero como nos dicen que la integral sea triple tendremos que expresarlo como dominio en lugar de hacer una doble y ponerlo como función a integrar.
Los límites son bien claros:
En x€[1,4]
En y entre el cero y el radio del cilindro luego y€[0,1]
En z la altura desde 0 hasta el valor de la función cilindro que depende de y. Luego z€[0,sqrt(1-y^2)]
Y la función a integrar es la identidad porque el dominio ya contiene las tres dimensiones
$$$dz en z€[0,sqrt(1-y^2)] dy en y€[0,1] dx en x€[1,4]
$${sqrt(1-y^2)dy en y€[0,1]}dx en x€[1,4]
Ya hicimos ayer dos integrales de este tipo, además sabemos que eso no es otra cosa que la cuarta parte del circulo de radio 1 luego la integral más interna vale PI/4
$PI/4dx en x€[1,4] = PI/4 · x en [1,4] = PI - PI/4 = (3/4)PI
Y eso es todo.
