Teorema de wilson en practica.
Buen día, que pena pero ya en el titulo le puse la pregunta a realizar, aquí mucho más especifica:
Mostrar que:
[((p-1))/2)!]^2 := (-1)^[(p+1)/2] (mod p), donde p es un primo impar
Vi los dos ejercicios que demostró anteriormente, y aunque son parecidos, no pude dar con la demostración.
":=" significa "congruente" como usted lo señalo en otros post.
Muchas gracias de antemano y saludos.
Mostrar que:
[((p-1))/2)!]^2 := (-1)^[(p+1)/2] (mod p), donde p es un primo impar
Vi los dos ejercicios que demostró anteriormente, y aunque son parecidos, no pude dar con la demostración.
":=" significa "congruente" como usted lo señalo en otros post.
Muchas gracias de antemano y saludos.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Ya casi ni me acuerdo de lo que hice, ha pasado una eternidad.
Supongo que tomar los elementos por parejas
1 con (p-1)
2 con (p-2)
....
(p-1)/2 con (p+1)/2
en cada pareja los dos elementos tienen congruencia opuesta porque
i := i - p = (mod p)
y i - p = -(p - i)
Luego multiplicamos todas las congruencias izquierdas a su lado y las derechas al suyo
1·2···(p-1)/2 := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)(p-2)···(p+1)/2 (mod p)
[(p-1)/2]! := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)(p-2)···(p+1)/2 (mod p)
Ahora multiplicamos en ambos lados por el miembro izquierdo
{[(p-1)/2]!}^2 := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)(p-2)···(p+1)/2 · [(p-1)/2]! (mod p)
{[(p-1)/2]!}^2 := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)! (mod p)
Y ahora aplicamos el teorema de Wilson al (p-1)! Que tenemos a la derecha y que popr dicho teorema será congruente con -1
{[(p-1)/2]!}^2 := (-1)^[(p-1)/2] (-1) (mod p)
Agrupamos ese factor (-1) con los otros, como [(p-1)/2]+1= (p+1)/2, queda
{[(p-1)/2]!}^2 := (-1)^[(p+1)/2] (mod p)
Que es justamente lo que había que demostrar.
Espero que te sirva y lo hallas entendido. Me alegra que hallas estado tan atento a mis respuestas a otros. No olvides puntuar.
Supongo que tomar los elementos por parejas
1 con (p-1)
2 con (p-2)
....
(p-1)/2 con (p+1)/2
en cada pareja los dos elementos tienen congruencia opuesta porque
i := i - p = (mod p)
y i - p = -(p - i)
Luego multiplicamos todas las congruencias izquierdas a su lado y las derechas al suyo
1·2···(p-1)/2 := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)(p-2)···(p+1)/2 (mod p)
[(p-1)/2]! := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)(p-2)···(p+1)/2 (mod p)
Ahora multiplicamos en ambos lados por el miembro izquierdo
{[(p-1)/2]!}^2 := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)(p-2)···(p+1)/2 · [(p-1)/2]! (mod p)
{[(p-1)/2]!}^2 := (-1)^[(p-1)/2] (p-1)! (mod p)
Y ahora aplicamos el teorema de Wilson al (p-1)! Que tenemos a la derecha y que popr dicho teorema será congruente con -1
{[(p-1)/2]!}^2 := (-1)^[(p-1)/2] (-1) (mod p)
Agrupamos ese factor (-1) con los otros, como [(p-1)/2]+1= (p+1)/2, queda
{[(p-1)/2]!}^2 := (-1)^[(p+1)/2] (mod p)
Que es justamente lo que había que demostrar.
Espero que te sirva y lo hallas entendido. Me alegra que hallas estado tan atento a mis respuestas a otros. No olvides puntuar.
