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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Vale!
Ahora no la puedo contestar pero al hacer esto ya me la quedo yo en propiedad y la contestaré cuando pueda.
Hay personas que les gusta tomar preguntas simplemente para decir que no te van a hacer las tareas o dar unas pistas simples y ya está.
No te digo que me mandes a mi directamente las preguntas porque puedo no responder por exceso de trabajo y complicación de las preguntas, que las tuyas ya son complicadas y dentro de un año ya no podré con ellas. Pero si no te contestaron bien alguna, tienes la posibilidad de hacerlo.
No olvides puntuar la pregunta donde me decías eso que pasó con esta pregunta.
Ahora no la puedo contestar pero al hacer esto ya me la quedo yo en propiedad y la contestaré cuando pueda.
Hay personas que les gusta tomar preguntas simplemente para decir que no te van a hacer las tareas o dar unas pistas simples y ya está.
No te digo que me mandes a mi directamente las preguntas porque puedo no responder por exceso de trabajo y complicación de las preguntas, que las tuyas ya son complicadas y dentro de un año ya no podré con ellas. Pero si no te contestaron bien alguna, tienes la posibilidad de hacerlo.
No olvides puntuar la pregunta donde me decías eso que pasó con esta pregunta.
No no me la respondieron,,,, lo que me escribieron fue que descargara una calculadora así que agradecería su ayuda por favor...
Gracias
Gracias
Dianis 1556!
Es parecido a una bola de helado dentro de un cucurucho.
Al volumen de la esfera hay que restarle el que deja el cono por debajo y el dominio de integración sera un círculo del que tenemos que calcular el radio viendo cual es la intersección de las dos figuras.
z^2 = x^2 + y^2
x^2 + y^2 + z^2 = 1 ==> z^2 = 1 - x^2 - y^2
igualamos por tener un miembro común
x^2 + y^2 =1 - x^2 - y^2
2x^2+2y^2 = 1
x^2 + y^2 = 1/2 = [1/sqrt(2)]^2
Luego es un círculo de radio 1/sqrt(2) el dominio de integración
Entonces la integral es:
$$sqrt(1-x^2-y^2) - sqrt(x^2+y^2) dy en y€[-sqrt(1/2-x^2), sqrt(1/2-x^2)] dx en x€[-1/sqrt(2),1/sqrt(2)]
Ni que decir tiene que se las trae la integral esta.
Hay una forma más sencilla de hacerlo, usando las coordenadas esféricas.
Rho es el radio de la esfera que es 1. Theta va desde 0 hasta 2PI porque hay que dar todo el giro a la esfera y fi es el que variará solo de 0 a PI/4 porque partiendo este ángulo desde arriba hacia abajo se encuentra con el cono al llegar a PI/4.
Bueno, hay que tener mucho cuidado porque no hay un criterio general y según los países se intercambian los ángulos fi y theta y los límites de integración de ellos. Yo con theta me refiero al azimut, al ángulo que da la vuelta a la esfera por el ecuador que varia de 0 a 2PI y con fi a la colatitud, el ángulo que empieza en el polo norte y va descendiendo hasta el polo sur variando de 0 a PI.
La función de la esfera en coordenadas esféricas es tan simple como Rho = 1 y el jacobiano de la transformación es (Rho)^2·sen(fi). Abreviaré rho con r, fi con f y theta con t
La integral es por tanto:
$$$ r^2·senf df con f€[0,PI/4] dr con r €[0,1] dt con t€[0,2PI] =
$$r^2(-cosf) con f€[0,PI/4] dr con r €[0,1] dt con t€[0,2PI] =
$$r^2(-sqrt(2)/2+1) dr con r €[0,1] dt con t€[0,2PI] =
$(r^3)/3 · (-sqrt(2)/2+1) con r €[0,1] dt con t€[0,2PI] =
$(1/3)(-sqrt(2)/2+1) dt con t€[0,2PI] =
(1/3)(-sqrt(2)/2+1) t con t€[0,2PI] =
(2/3)(1-sqrt(2)/2) PI =
(2-sqrt(2))PI/3
-------------------------------
Te mando el primero porque el segundo es má complicado y no estoy seguro de como se hace de momento.
Es parecido a una bola de helado dentro de un cucurucho.
Al volumen de la esfera hay que restarle el que deja el cono por debajo y el dominio de integración sera un círculo del que tenemos que calcular el radio viendo cual es la intersección de las dos figuras.
z^2 = x^2 + y^2
x^2 + y^2 + z^2 = 1 ==> z^2 = 1 - x^2 - y^2
igualamos por tener un miembro común
x^2 + y^2 =1 - x^2 - y^2
2x^2+2y^2 = 1
x^2 + y^2 = 1/2 = [1/sqrt(2)]^2
Luego es un círculo de radio 1/sqrt(2) el dominio de integración
Entonces la integral es:
$$sqrt(1-x^2-y^2) - sqrt(x^2+y^2) dy en y€[-sqrt(1/2-x^2), sqrt(1/2-x^2)] dx en x€[-1/sqrt(2),1/sqrt(2)]
Ni que decir tiene que se las trae la integral esta.
Hay una forma más sencilla de hacerlo, usando las coordenadas esféricas.
Rho es el radio de la esfera que es 1. Theta va desde 0 hasta 2PI porque hay que dar todo el giro a la esfera y fi es el que variará solo de 0 a PI/4 porque partiendo este ángulo desde arriba hacia abajo se encuentra con el cono al llegar a PI/4.
Bueno, hay que tener mucho cuidado porque no hay un criterio general y según los países se intercambian los ángulos fi y theta y los límites de integración de ellos. Yo con theta me refiero al azimut, al ángulo que da la vuelta a la esfera por el ecuador que varia de 0 a 2PI y con fi a la colatitud, el ángulo que empieza en el polo norte y va descendiendo hasta el polo sur variando de 0 a PI.
La función de la esfera en coordenadas esféricas es tan simple como Rho = 1 y el jacobiano de la transformación es (Rho)^2·sen(fi). Abreviaré rho con r, fi con f y theta con t
La integral es por tanto:
$$$ r^2·senf df con f€[0,PI/4] dr con r €[0,1] dt con t€[0,2PI] =
$$r^2(-cosf) con f€[0,PI/4] dr con r €[0,1] dt con t€[0,2PI] =
$$r^2(-sqrt(2)/2+1) dr con r €[0,1] dt con t€[0,2PI] =
$(r^3)/3 · (-sqrt(2)/2+1) con r €[0,1] dt con t€[0,2PI] =
$(1/3)(-sqrt(2)/2+1) dt con t€[0,2PI] =
(1/3)(-sqrt(2)/2+1) t con t€[0,2PI] =
(2/3)(1-sqrt(2)/2) PI =
(2-sqrt(2))PI/3
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Te mando el primero porque el segundo es má complicado y no estoy seguro de como se hace de momento.
