Matrices
He aprendido a operar con matrices, y eso lo tengo claro. Lo que no sé es ni lo que realmente son y qué utilidad pueden llegar a tener. Lo mismo me pasa con los determinantes.
Si alguien puede decirme para qué tengo que aprender todo ésto, le estaría muy agradecido.
Si alguien puede decirme para qué tengo que aprender todo ésto, le estaría muy agradecido.
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Las matrices no son más que un conjunto de números ordenados en filas y columnas.
Conceptualmente no son nada. Otra cosa es que aplicadas en diferentes sitios tengan uno u otro significado. Es decir, el concepto de matriz depende de cómo las estemos usando, y en el fondo no es más que una herramienta que nos ayuda en nuestros cálculos.
Veamos alguna de sus aplicaciones más sencillas
Tengamos el sistema de ecuaciones:
x + y = 3
x - y = 1
Sumando ambas ecuaciones
2*x = 4 ----> x = 2
Restando ambas
2*y = 2 ----> y = 1
Hemos resuelto el sistema usando métodos clásicos. Ahora bien, si expresamos ese sistema en forma matricial:
|1 1||x| |3|
|1 -1||y|=|1|
El sistema nos queda
A*X = B
cuya solución será
X = A'*B
siendo A' la inversa de A, o sea
1 |1 1|
-
2 |1 -1|
y B la matriz columna de los términos independientes
|3|
|1|
Multiplicando A' por B
|x| = |2|
|y| = |1|
O sea lo mismo que antes.
Por supuesto nadie va a usar matrices para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero este proceso es válido para cualquier sistema, o sea que si hay que resolver un sistema formado por 100 ecuaciones con 100 incógnitas, para un ordenador sólo consiste en calcular una inversa de una matriz y hacer una multiplicación
Existen otras formas de interpretar matrices:
1º Matrices de conexión para grafos ( útiles en la resolución de circuitos, por ejemplo)
2º Asociadas a una aplicación lineal
3º Como una forma bilineal ( algo parecido a un producto escalar)
...
Como ves su significado depende del contexto en que van a ser usadas.
Conceptualmente no son nada. Otra cosa es que aplicadas en diferentes sitios tengan uno u otro significado. Es decir, el concepto de matriz depende de cómo las estemos usando, y en el fondo no es más que una herramienta que nos ayuda en nuestros cálculos.
Veamos alguna de sus aplicaciones más sencillas
Tengamos el sistema de ecuaciones:
x + y = 3
x - y = 1
Sumando ambas ecuaciones
2*x = 4 ----> x = 2
Restando ambas
2*y = 2 ----> y = 1
Hemos resuelto el sistema usando métodos clásicos. Ahora bien, si expresamos ese sistema en forma matricial:
|1 1||x| |3|
|1 -1||y|=|1|
El sistema nos queda
A*X = B
cuya solución será
X = A'*B
siendo A' la inversa de A, o sea
1 |1 1|
-
2 |1 -1|
y B la matriz columna de los términos independientes
|3|
|1|
Multiplicando A' por B
|x| = |2|
|y| = |1|
O sea lo mismo que antes.
Por supuesto nadie va a usar matrices para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero este proceso es válido para cualquier sistema, o sea que si hay que resolver un sistema formado por 100 ecuaciones con 100 incógnitas, para un ordenador sólo consiste en calcular una inversa de una matriz y hacer una multiplicación
Existen otras formas de interpretar matrices:
1º Matrices de conexión para grafos ( útiles en la resolución de circuitos, por ejemplo)
2º Asociadas a una aplicación lineal
3º Como una forma bilineal ( algo parecido a un producto escalar)
...
Como ves su significado depende del contexto en que van a ser usadas.
He entendido lo que quieres decirme sobre las matrices, pero ¿qué me puedes decir sobre determinantes?
Con los determinantes nos ocurre algo parecido a las matrices. Si bien existe una definición, en términos de permutaciones, signaturas, ..., en el fondo volvemos a lo mismo de antes. Depende de en qué contexto estamos usando el determinante para saber qué es la información que podemos sacar de él.
Siguiendo con el ejemplo de los sistemas de ecuaciones, el determinante de una matriz nos informa de su rango, o sea, del número de filas o columnas que son linealmente independientes. En tal contexto el valor del determinante no nos interesa, sino sólo saber si es o no es nulo.
Así, la matriz
1 2 3
1 3 1
2 5 4
Tendrá el determinante nulo, pues la última fila es la suma de las otras dos.
Esto nos indica que el rango no puede ser tres. Ten en cuenta que cada fila es la información de una ecuación, con lo que mediante determinantes vamos eliminando las ecuaciones repetidas o cuya información ya nos la proporcionan otras ecuaciones.
Como antes ocurría, en otros contextos sí nos interesa saber el valor del determinante, pero para sistemas de ecuaciones sólo saber si es o no nulo
Siguiendo con el ejemplo de los sistemas de ecuaciones, el determinante de una matriz nos informa de su rango, o sea, del número de filas o columnas que son linealmente independientes. En tal contexto el valor del determinante no nos interesa, sino sólo saber si es o no es nulo.
Así, la matriz
1 2 3
1 3 1
2 5 4
Tendrá el determinante nulo, pues la última fila es la suma de las otras dos.
Esto nos indica que el rango no puede ser tres. Ten en cuenta que cada fila es la información de una ecuación, con lo que mediante determinantes vamos eliminando las ecuaciones repetidas o cuya información ya nos la proporcionan otras ecuaciones.
Como antes ocurría, en otros contextos sí nos interesa saber el valor del determinante, pero para sistemas de ecuaciones sólo saber si es o no nulo
