Álgebra lineal

Veo que en las dos primeras columnas has puesto los mismos números mientras en la tercera y cuarta pones 5 datos inconcretos.
Si hacemos las mismas cuaentas que ayer vamos a conseguir los ceros de la primera y segunda columna de igual forma. Luego en la tercera columna obtendremos siempre un cero al menos ya sea en la segunda fila, la tercera o en las dos.
Que haya soluciones depende de lo que pase en la cuarta columna. Si donde hay ceros en la tercera los hay en la cuarta y donde no los hay en la tercera tampoco los hay en la cuarta, tendrán el mismo rango la matriz de coeficientes que la extendida y habrá solución, que podrá ser una recta si hay una sola fila con todo ceros, o un plano si son dos las filas con todo ceros.
Resumiendo, lo que hace incompatible un sistema es que en la matriz de coeficientes haya una fila con todo ceros y el valor de la ultima columna en esa fila sea distinto de cero. Es pura lógica, por que cero cosas no pueden tener un valor distinto de cero.

De tantos parámetros que has puesto podemos hacer mil variantes
Tomemos x=y=a=1; b=3, d=3
segunda y tercera filas quedarán
0 0 2 | 2
0 0 0 | 0
y el sistema tendrá solución. Pero simplemente cambiando la d por 2 quedarán
0 0 2 | 2
0 0 0 | -1
Y no tendrá solución. Luego que tenga solución a no si depende de los valores de la tercera y cuarta columna
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Calculamos el determinante
|1 3 2____|
|4 1 2____| = a^2+3 +12 +8 - 4 -12(a^2+3) -2
|2 1 a^2+3|
= -11a^2 +19 -36 -2 = -11a^2 - 19
Igualamos a cero para hallar los puntos singulares.
-11a^2 -19 = 0
-11a^2 = 19
a^2 = -19/11
Un cuadrado no puede ser negativo. Eso es imposible en los números reales, luego la matriz nunca es singular. Sea cual sea el valor de a, la matriz será no singular.
Y eso es todo.