Problema de geometría (razones)
Dice:
Si r= OA/OB y r'=OA'/OB', de donde O,A,B,A',B' son colineales, demuestra que:
rr' BB' + rA'B + r'B'A + AA' = 0
Había pensado en cambiar la OA y OA' en términos de los segmentos que multiplican en la suma, pero me da problemas en rr'
¿Qué hago?
Si r= OA/OB y r'=OA'/OB', de donde O,A,B,A',B' son colineales, demuestra que:
rr' BB' + rA'B + r'B'A + AA' = 0
Había pensado en cambiar la OA y OA' en términos de los segmentos que multiplican en la suma, pero me da problemas en rr'
¿Qué hago?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Va a ser un suplicio entenderlo con este editor, pero lo vamos a intentar. Simplificaremos algo llamando a a OA, a' a OA', b a OB y b' a OB'.
Asimismo tenemos los segmentos BB', A'B, AB' y BB', como son puntos colineales se pueden expresar como resta de dos segmentos tomando el punto O como auxiliar
AA' = OA' - OA = a' - a
A'B = OB - OA' = b - a'
B'A = OA - OB' = a - b'
BB' = OB' - OB = b' - b
Lo primero es sustituir r y r' y esos cuatro segmentos por su valor númerico
rr' BB' + rA'B + r'B'A + AA' =
(a/b)(a'/b')(b'-b) + (a/b)(b-a') + (a'/b')(a-b') + a'-a =
Multiplicamos todo por bb'
= aa'(b'-b) + ab'(b-a') + a'b(a-b') + bb'(a'-a) =
Pondré los sumandos resultantes ya ordenadados en a, a', b, b' para poder luego simplificarlos más cómodamente
= aa'b' - aa'b + abb' - aa'b' + aa'b - a'bb' +a'bb' - abb' = 0
Son iguales pero con signo distinto 1 y 4; 2 y 5, 3 y 8; 6 y 7. Todos se anulan.
Resumiendo, que era cierta la igualdad.
Y eso es todo.
Asimismo tenemos los segmentos BB', A'B, AB' y BB', como son puntos colineales se pueden expresar como resta de dos segmentos tomando el punto O como auxiliar
AA' = OA' - OA = a' - a
A'B = OB - OA' = b - a'
B'A = OA - OB' = a - b'
BB' = OB' - OB = b' - b
Lo primero es sustituir r y r' y esos cuatro segmentos por su valor númerico
rr' BB' + rA'B + r'B'A + AA' =
(a/b)(a'/b')(b'-b) + (a/b)(b-a') + (a'/b')(a-b') + a'-a =
Multiplicamos todo por bb'
= aa'(b'-b) + ab'(b-a') + a'b(a-b') + bb'(a'-a) =
Pondré los sumandos resultantes ya ordenadados en a, a', b, b' para poder luego simplificarlos más cómodamente
= aa'b' - aa'b + abb' - aa'b' + aa'b - a'bb' +a'bb' - abb' = 0
Son iguales pero con signo distinto 1 y 4; 2 y 5, 3 y 8; 6 y 7. Todos se anulan.
Resumiendo, que era cierta la igualdad.
Y eso es todo.
