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Respuesta de mikel1970
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Cuenta la leyenda que siendo Gauss un niño, la maestra les puso como ejercicio que sumaran todos los números del 1 al 100. Un minuto más tarde Gauss ya había realizado la suma ante el asombro de la maestra, y con un resultado correcto.
Gauss se dio cuenta que
1+100 = 2+99 = 3+98 = .... = 101
y que sólo había que multiplicar 101 * 50, pues había 50 sumas. de forma que
S = 101*50=5050
Posteriormente se desarrollaron las fórmulas de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética de la forma
Sn=(a1+an)*n/2
En tu caso, si consideras la progresión aritmética
(1,2,3,4,...)
o sea de término general
an = n
lo que has de demostrar es la suma de los n primeros términos de una P.A, con lo que
1+2+3+...n =
Sn = (a1+an)*n/2 =
(1+n)*n/2
Con lo cual queda demostrado.
... Continúa
Gauss se dio cuenta que
1+100 = 2+99 = 3+98 = .... = 101
y que sólo había que multiplicar 101 * 50, pues había 50 sumas. de forma que
S = 101*50=5050
Posteriormente se desarrollaron las fórmulas de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética de la forma
Sn=(a1+an)*n/2
En tu caso, si consideras la progresión aritmética
(1,2,3,4,...)
o sea de término general
an = n
lo que has de demostrar es la suma de los n primeros términos de una P.A, con lo que
1+2+3+...n =
Sn = (a1+an)*n/2 =
(1+n)*n/2
Con lo cual queda demostrado.
... Continúa
De todas formas hay ota forma de demostrar ésto sin recurrir a fórmulas de progresiones.
Con el método de inducción para demostrar cualquier relación que se cumpla para todos los naturales, basta con hacer
1º Demostrar que se cumple para n=1
2º Suponer que se cumple para n y demostrar que se cumple para n+1
De esta forma, si se cumple para n=1, aplicando 2º se cumplirá para 1+1=2. Si se cumple para n=2, se cumpluirá para 2+1=3, y así sucesivamente
1º n=1
1=(1+1)*1/2
1=1
con lo cual se cumple
2º Supongamos que se cumple para n, o sea
1+2+3+..+n = (n+1)*n/2
Hemos de demostrar que
1+2+3+...+n+n+1 = (n+2)*(n+1)/2
1+2+3+...+n+n+1=
(n+1)*n/2 + n+1
[(n+1)*n + 2(n+1)]/2
[n^2 + n + 2*n + 2]/2
[n^2 + 3*n + 2]/2
Factorizando
n^2 + 3*n + 2 = (n+1)*(n+2)
con lo que
1+2+3+...+n+n+1=
(n+1)*(n+2)/2
Con lo que queda demostrado por inducción.
Con el método de inducción para demostrar cualquier relación que se cumpla para todos los naturales, basta con hacer
1º Demostrar que se cumple para n=1
2º Suponer que se cumple para n y demostrar que se cumple para n+1
De esta forma, si se cumple para n=1, aplicando 2º se cumplirá para 1+1=2. Si se cumple para n=2, se cumpluirá para 2+1=3, y así sucesivamente
1º n=1
1=(1+1)*1/2
1=1
con lo cual se cumple
2º Supongamos que se cumple para n, o sea
1+2+3+..+n = (n+1)*n/2
Hemos de demostrar que
1+2+3+...+n+n+1 = (n+2)*(n+1)/2
1+2+3+...+n+n+1=
(n+1)*n/2 + n+1
[(n+1)*n + 2(n+1)]/2
[n^2 + n + 2*n + 2]/2
[n^2 + 3*n + 2]/2
Factorizando
n^2 + 3*n + 2 = (n+1)*(n+2)
con lo que
1+2+3+...+n+n+1=
(n+1)*(n+2)/2
Con lo que queda demostrado por inducción.
