Cálculo del Centro
Mi problema es el siguiente, tengo tres puntos en el plano xy, y conozco sus coordenadas tanto cartesianas como polares, y me gustaría saber la forma o procedimiento para calcular el punto correspondiente al circulo que pasaría por esos tres puntos. También me daría igual que el resultado fuera cartesianas o polar. Gracias
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
La ecuación en cartesianas de una circunferencia de centro C(pero, yo) y radio r, es
(x-xo)^2+(y-yo)^2=r^2
Desarrollando
(x-xo)^2+(y-yo)^2=r^2
x^2-2*x*xo+yo^2+y^2-2*y*yo+yo^2-r^2=0
x^2+y^2-2*xo*x-2*yo*y+xo^2+yo^2-r^2=0
Definiendo
a=-2*xo
b=-2*yo
c=xo^2+yo^2-r^2
obtenemos como ecuación de la circunferencia
x^2+y^2+a*x+b*y+c=0
siendo el centro C(xo,yo)
xo=-a/2
yo=-b/2
De tal forma, si la circunferencia pasa por los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), tales puntos cumplirán la ecuación de la circunferencia, con lo que
x1^2+y1^2+a*x1+b*y1+c=0
x2^2+y2^2+a*x2+b*y2+c=0
x3^2+y3^2+a*x3+b*y3+c=0
y nos quedará el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a, b, c
x1*a+y1*b+c=-(x1^2+y1^2)
x2*a+y2*b+c=-(x2^2+y2^2)
x3*a+y3*b+c=-(x3^2+y3^2)
Una vez resuelto el sistema y sacado a y b, el centro será
C(xo,yo)=C(-a/2,-b/2)
No he resuelto el sistema para el caso general y poner pero, yo en función de x1, x2, x3, y1, y2, y3, pues es un poco largo. Si quieres lo hago, y si tratas de hacerlo tú, te aconsejo que uses el método de Cramer, pues va a ser el más rápido.
(x-xo)^2+(y-yo)^2=r^2
Desarrollando
(x-xo)^2+(y-yo)^2=r^2
x^2-2*x*xo+yo^2+y^2-2*y*yo+yo^2-r^2=0
x^2+y^2-2*xo*x-2*yo*y+xo^2+yo^2-r^2=0
Definiendo
a=-2*xo
b=-2*yo
c=xo^2+yo^2-r^2
obtenemos como ecuación de la circunferencia
x^2+y^2+a*x+b*y+c=0
siendo el centro C(xo,yo)
xo=-a/2
yo=-b/2
De tal forma, si la circunferencia pasa por los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), tales puntos cumplirán la ecuación de la circunferencia, con lo que
x1^2+y1^2+a*x1+b*y1+c=0
x2^2+y2^2+a*x2+b*y2+c=0
x3^2+y3^2+a*x3+b*y3+c=0
y nos quedará el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a, b, c
x1*a+y1*b+c=-(x1^2+y1^2)
x2*a+y2*b+c=-(x2^2+y2^2)
x3*a+y3*b+c=-(x3^2+y3^2)
Una vez resuelto el sistema y sacado a y b, el centro será
C(xo,yo)=C(-a/2,-b/2)
No he resuelto el sistema para el caso general y poner pero, yo en función de x1, x2, x3, y1, y2, y3, pues es un poco largo. Si quieres lo hago, y si tratas de hacerlo tú, te aconsejo que uses el método de Cramer, pues va a ser el más rápido.
He intentado algo pero me lio, si es posible y no es mucho trabajo me gustaría que me lo desarrollases lo más posible.
Gracias de todas maneras.
Saludos
Jotiker.
Gracias de todas maneras.
Saludos
Jotiker.
He intentado algo pero me lio, si es posible y no es mucho trabajo me gustaría que me lo desarrollases lo más posible. No se si en el mensaje te lo puse, el centro no tiene por que ser el origen de coordenadas.
Gracias de todas maneras.
Saludos
Jotiker.
Gracias de todas maneras.
Saludos
Jotiker.
Desarrollando por Cramer, el valor calculando el determinante de la matriz de los coeficientes
|x1 y1 1|
|x2 y2 1|
|x3 y3 1|
Restando a las filas 2 y 3 la primera
|x1 y1 1|
|x2-x1 y2-y1 0|
|x3-x1 y3-y1 0|
luego
|x2-x1 y2-y1|
|x3-x1 y3-y1|
nos queda
|A|=(x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1)
Para calcular el valor de a sustituimos la columna de los coeficientes en la primera columna
|-(x1^2+y1^2) y1 1|
|-(x2^2+y2^2) y2 1|
|-(x3^2+y3^2) y3 1|
Descomponemos en dos determinantes
|x1^2 y1 1|
-|x2^2 y2 1|
|x3^2 y3 1|
más el determinante
|y1^2 y1 1|
-|y2^2 y2 1|
|y3^2 y3 1|
El primer determinante (salvo el signo) nos queda restando la primera fila
|x1^2 y1 1
|x2^2-x1^2 y2-y1 0|
|x3^2-x1^2 y3-y1 0|
o séa
|x2^2-x1^2 y2-y1|
|x3^2-x1^2 y3-y1|
que nos queda
(x2^2-x1^2)*(y3-y1)-(x3^2-x1^2)*(y2-y1)
el segundo es un determinante de VanderMonde ( intercambiando columas) y nos queda
(y3-y2)*(y3-y1)*(y2-y1)
Resolviendo por tanto a y teniendo en cuenta que la coordenada del centro x es
x0=-a/2
me queda lo siguiente
xo=(1/2)*[(x2^2-x1^2)*(y3-y1)-(x3^2-x1^2)*(y2-y1)-(y3-y2)*(y3-y1)*(y2-y1)]/[(x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1)]
con un desarrollo similar
y0=(1/2)*[(x2-x1)*(y3^2-y1^2)-(x3-x1)*(y2^2-y1^2)+(x3-x2)*(x3-x1)*(x2-x1)]/[(x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1)]
Este es el caso general, y como ves en ningún momento el centro ha de ser el origen de coordenadas.
Lo que no sé muy bien es para que quieres ésto, pues si conoces los puntos (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3), es mejor sustituir primero y resolver el sistema particular en lugar de hacerlo en el caso general.
Por otra parte hay otros métodos gráficos de hacer ésto: unes los puntos por dos rectas, calculas sus mediatrices y el punto de corte es el centro.
|x1 y1 1|
|x2 y2 1|
|x3 y3 1|
Restando a las filas 2 y 3 la primera
|x1 y1 1|
|x2-x1 y2-y1 0|
|x3-x1 y3-y1 0|
luego
|x2-x1 y2-y1|
|x3-x1 y3-y1|
nos queda
|A|=(x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1)
Para calcular el valor de a sustituimos la columna de los coeficientes en la primera columna
|-(x1^2+y1^2) y1 1|
|-(x2^2+y2^2) y2 1|
|-(x3^2+y3^2) y3 1|
Descomponemos en dos determinantes
|x1^2 y1 1|
-|x2^2 y2 1|
|x3^2 y3 1|
más el determinante
|y1^2 y1 1|
-|y2^2 y2 1|
|y3^2 y3 1|
El primer determinante (salvo el signo) nos queda restando la primera fila
|x1^2 y1 1
|x2^2-x1^2 y2-y1 0|
|x3^2-x1^2 y3-y1 0|
o séa
|x2^2-x1^2 y2-y1|
|x3^2-x1^2 y3-y1|
que nos queda
(x2^2-x1^2)*(y3-y1)-(x3^2-x1^2)*(y2-y1)
el segundo es un determinante de VanderMonde ( intercambiando columas) y nos queda
(y3-y2)*(y3-y1)*(y2-y1)
Resolviendo por tanto a y teniendo en cuenta que la coordenada del centro x es
x0=-a/2
me queda lo siguiente
xo=(1/2)*[(x2^2-x1^2)*(y3-y1)-(x3^2-x1^2)*(y2-y1)-(y3-y2)*(y3-y1)*(y2-y1)]/[(x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1)]
con un desarrollo similar
y0=(1/2)*[(x2-x1)*(y3^2-y1^2)-(x3-x1)*(y2^2-y1^2)+(x3-x2)*(x3-x1)*(x2-x1)]/[(x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1)]
Este es el caso general, y como ves en ningún momento el centro ha de ser el origen de coordenadas.
Lo que no sé muy bien es para que quieres ésto, pues si conoces los puntos (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3), es mejor sustituir primero y resolver el sistema particular en lugar de hacerlo en el caso general.
Por otra parte hay otros métodos gráficos de hacer ésto: unes los puntos por dos rectas, calculas sus mediatrices y el punto de corte es el centro.
