¿Ecuación "milusos"?

Para resolver un triángulo no rectángulo, es decir, conocer los tres lados y los tres triángulos, se usan dos teoremas, el teorema del seno y el teorema de coseno.
Usaremos la siguiente notación: llamaremos a, b, c a los lados y A, B, C a los ángulos opuestos a cada lado.
En tal caso los teoremas son
1º Teorema del seno:
La relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante, o sea:
a/senA=b/senB=c/senC
2º Teorema del coseno
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otro lados menos el doble del producto de los otros dos lados por el coseno del ángulo que hay entre ellos, o sea:
a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC
Con estos dos teoremas puedes resolver cualquier triángulo. Sólo hay que tener en cuenta algunas cosas:
1º Para resolver un triángulo basta con saber dos de las 6 variables (excepto sólo dos ángulos)
2º Sabiendo dos ángulos, como sabemos que la suma de los tres son 180º, ya tenemos el otro
A+B+C=180º
3º Sabiendo un lado y el ángulo opuesto, sólo con el teorema del seno ya sacamos todo. Sólo hay un caso donde es imprescindible el teorema del coseno, que es cuando sabes dos lados y el ángulo que hay entre ellos
4º Cuidado con las calculadoras. Sabiendo el seno de un ángulo, la calculadora sólo te da una solución para el ángulo, mientras que hay dos soluciones:
senA=sen(180-A)
Una solución--la que te da la calculadora
Otra-->180 - la anterior
Las dos pueden ser válidas, aunque algunas veces sólo nos sirva una de ellas, pues la otra puede llegar a absurdos ( ángulos cuya suma sea mayor de 180º...)
En tu caso, sabiendo dos lados y un ángulo nos encontramos con dos casos
1º Sabemos dos lados y el opuesto a uno de ellos
a=7
b=10
A=30º
En este caso por el teorema del seno sacamos B, luego C y mediante el teorema del seno c
a/senA=b/senB
senB=b*senA/a
senB=10*sen30º/7
senB=0.714
B=45.58º ( la que nos da la calculadora)
B=180-4.58=134.42
i)B=45.48
C=180-A-B=180-30-45.58=104.52
a/senA=c/senC
c=a*senC/senA
c=7*sen104.52º/sen30º
c=13.56
ii)B=134.42
C=180-A-B=180-30-134.42=15.58
c=a*senC/senA
c=7*sen15.58º/sen30º
c=3.76
En este caso las dos soluciones son válidas.
2º Sabemos dos lados y el ángulo que hay entre los dos
En este caso, mediante el teorema del coseno sacamos el otro lado, y luego con el teorema del seno sacamos los ángulos restantes
a=7
b=10
C=30
c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC
c^2=7^2+10^2-2*7*10*cos30
c^2=27.76
c=5.27
Aplicando el teorema del seno para A y B
a/senA=c/senC
senA=a*senC/c
senA=7*sen30/5.27
senA=0.66
A=41.6
A=180-41.6=138.4
b/senB=c/senC
senB=b*senC/c
senB=10*sen30/5.27
senB=0.95
B=71.6
B=180-71.6=108.4
Pero como
A+B+C=180
y C=30
A+B=150
luego la única solución válida es
A=41.6º
B=108.4º
En este último caso como podrás comprobar haciendo el dibujo sólo podemos encontrar una única solución válida