Dadas las aplicaciones sobreyectivas...
Dadas las aplicaciones sobreyectivas:
$$\zeta : 1 \zeta=1, \,\,\, 2 \zeta=2, \,\,\,3 \zeta=3, \,\,\,4 \zeta=4\\ \alpha: 1 \alpha =2, \,\,\,2 \alpha=3, \,\,\,3 \alpha =4, \,\,\,4 \alpha=1\\ \beta: 1 \beta=4,\,\,\,2 \beta=1, \,\,\,3 \beta=2, \,\,\,4 \beta= 3\\ \gamma: 1 \gamma=3,\,\,\,2 \gamma=4,\,\,\,3 \gamma=1,\,\,\,4 \gamma=2\\ \delta: 1 \delta=1,\,\,\,2 \delta=4,\,\,\,3 \delta=3,\,\,\,4 \delta=2$$
de S = { 1,2,3,4 } sobre si mismo, comprobar:
$$a)\,\,\, \alpha \beta = \beta \alpha = \xi, \,\,\, luego \,\,\, \beta= \alpha^{-1}\\ b)\,\,\,\alpha \gamma = \gamma \alpha=\beta\\ c)\,\,\,\alpha \delta\neq \delta \alpha \\ d)\,\,\, \alpha^{2}=\alpha \alpha =\gamma\\ e)\,\,\,\gamma^{2}=\xi,\,\,\,luego \,\,\, \gamma^{-1}=\gamma\\ f)\,\,\,\alpha^{4}=\xi,\,\,\, luego \,\,\,\alpha^{3}=\alpha^{-1}\\ g)\,\,\,(\alpha^{2})^{-1}=(\alpha^{-1})^{2}$$Nota: la letra griega xi es igual a la identidad .
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$$\begin{align}&a)\\ &1\alpha\beta =2\beta =1\quad 1\beta\alpha=4\alpha=1\\ &2\alpha\beta =3\beta =2\quad 2\beta\alpha=1\alpha=2\\ &3\alpha\beta =4\beta =3\quad 3\beta\alpha=2\alpha=3\\ &4\alpha\beta =1\beta =4\quad 4\beta\alpha=3\alpha=4\\ &Verdadero\\ &\\ &b)\\ &\alpha\gamma:[1,2,3,4]\to[2,3,4,1] \to[4,1,2,3]\\ &\gamma\alpha:[1,2,3,4]\to[3,4,1,2]\to[4,1,2,3]\\ &\beta:[1,2,3,4]\to[4,1,2,3]\\ &Verdadero\\ &\\ &c)\\ &\alpha\delta:[1,2,3,4]\to[2,3,4,1]\to[4,3,2,1]\\ &\delta\alpha:[1,2,3,4]\to[1,4,3,2]\to[2,1,4,3]\\ &\text{Verdadero que son distintos}\\ &\\ &d)\\ &\alpha^2:[1,2,3,4]\to[2,3,4,1]\to[3,4,1,2]\\ &\gamma:[1,2,3,4[\to[3,4,1,2]\\ &Verdadero\end{align}$$La notación utilizada hasta ahora ha sido simplemente para no escribir tantas líneas. Entre corchetes ponía el conjunto ordenado de alguna forma queriendo decir que al primer elemento le correspondía el primero del corchete de la derecha, al segundo el segundo,etc.
Pero creo que ya habréis dado las permutaciones y la notación con ciclos. En lo que queda voy a utilizar eso que es mucho más descansado.
e) gamma =(1,3)(2,4)
gamma^2 = xi
verdadero
f)alpha = (1,2,3,4)
alpha^2 =(1,3)(2,4)
alpha^4 = (alpha^2)^2 = xi
verdadero
g) alpha^2=(1,3)(2,4)
(alpha^2)^(-1) = (3,1)(4,2) = (1,3)(2,4)
alpha^(-1) = (1,4,3,2)
[alpha^(-1)]^2 = (1,3)(2,4)
Luego son iguales y es verdadero
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si los primeros ejercicios los quieres también como operaciones de ciclos me lo dices.
