Ecuación Diferencial
Hola, quisiera que me explicara los pasos para resolver la siguiente ecuación diferencial:
r'' = -GM/r^2
Es la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo dos veces (aceleración) igual a una conatante -GM dividida por el espacio al cuadrado.
Tengo un resultado que dice que esa ecuación es igual a (dr/dt)^2 - GM/r = k/2
Donde que es la constante que aparece al integrar. No entiendo como se llega a este resultado.
Muchas gracias. Mt. Perenford
r'' = -GM/r^2
Es la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo dos veces (aceleración) igual a una conatante -GM dividida por el espacio al cuadrado.
Tengo un resultado que dice que esa ecuación es igual a (dr/dt)^2 - GM/r = k/2
Donde que es la constante que aparece al integrar. No entiendo como se llega a este resultado.
Muchas gracias. Mt. Perenford
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Respuesta de santijed
1
Te explico lo que hice perome da algo más complicado, aunque quizás saber el procedimiento te interesa más.
Antes de nada decir que cambié la "r" y "t", por "y" y "x". Además llamé A = GM
Entonces tengo, y" = -A/y^2
Se trata de una ecuación diferencial de 2º orden, por lo tanto lo primero es usar el truco de que d[(y')^2] / dx = 2y'y", porque con esto podemos reducir la ecuacion a una de 1º orden sin más que multiplicar ambos miembros por 2y' -> 2y'y" = -2Ay'/y^2, si hacemos integral en los dos lados tenemos (y')^2 = -2AIntegral(y'/y^2)dx, esta última parte usamos que y'dx = dy/dx * dx = dy, luego tenemos (y')^2 = -2AIntegral(1/y^2)dy = 2A/y + k -> y' = Raiz(2A/y +k) -> dy/dx = Raiz(2A/y +k) -> dy/Raiz(2A/y +k) = dx
Ahora lo que faltaría es hacer integrales en los dos lados, el 2º está claro pero el 1º si hacemos la suma que hay en el denominador y arreglamos nos queda Integral{Raiz(y/ky+2A)dy}
Esta integral no es muy difícil, también la tengo hecha, hay que hacer el cambio de variable y/(ky+2A) = t^2.
No sigo porque el resultado sale diferente al que me diste, pero el procedimiento es este, y una vez que lo entiendes lo ves lógico.
Sin embargo no sé porque sale distinto al que me pones, no obstante, espero haber explicado bien los pasos; si no tienes claro algo dímelo otra vez que no hay inconveniente.
Antes de nada decir que cambié la "r" y "t", por "y" y "x". Además llamé A = GM
Entonces tengo, y" = -A/y^2
Se trata de una ecuación diferencial de 2º orden, por lo tanto lo primero es usar el truco de que d[(y')^2] / dx = 2y'y", porque con esto podemos reducir la ecuacion a una de 1º orden sin más que multiplicar ambos miembros por 2y' -> 2y'y" = -2Ay'/y^2, si hacemos integral en los dos lados tenemos (y')^2 = -2AIntegral(y'/y^2)dx, esta última parte usamos que y'dx = dy/dx * dx = dy, luego tenemos (y')^2 = -2AIntegral(1/y^2)dy = 2A/y + k -> y' = Raiz(2A/y +k) -> dy/dx = Raiz(2A/y +k) -> dy/Raiz(2A/y +k) = dx
Ahora lo que faltaría es hacer integrales en los dos lados, el 2º está claro pero el 1º si hacemos la suma que hay en el denominador y arreglamos nos queda Integral{Raiz(y/ky+2A)dy}
Esta integral no es muy difícil, también la tengo hecha, hay que hacer el cambio de variable y/(ky+2A) = t^2.
No sigo porque el resultado sale diferente al que me diste, pero el procedimiento es este, y una vez que lo entiendes lo ves lógico.
Sin embargo no sé porque sale distinto al que me pones, no obstante, espero haber explicado bien los pasos; si no tienes claro algo dímelo otra vez que no hay inconveniente.
Muchas gracias por la explicación. Ese resultado al que queremos llegar aparece como resolución de esa ecuación diferencial (es en las primeras ecuaciones de la teoría del big-bang).
Cualquier cosa, mi mail es [email protected]
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