Demostrar para cuales quiera x,y E se cumple: senx+seny=2sen[x+y/2]cos[x-y/2]

Hay que usar estas fórmulas trigonométricas:
1) sen(a+b) = sena·cosb + cosa·senb
2) sen(a-b) = sena·cosb - cosa·senb
sumándolas tenemos
sen(a+b) + sen (a-b) = 2 sena·cosb
Si llamamos
a = (x+y)/2
b = (x-y)/2
la igualdad se transforma en:
sen[(x+y)/2 + (x-y)/2] + sen[(x+y)/2 - (x-y)/2] = 2sen[(x+y)/2]·cos[(x-y)/2]
sen[(x+y+x-y)/2] + sen[(x+y-x+y)/2] = 2sen[(x+y)/2]·cos[(x-y)/2]
sen[(2x)/2] + sen[(2y)/2] = 2sen[(x+y)/2]·cos[(x-y)/2]
senx + seny = 2sen[(x+y)/2]·cos[(x-y)/2]

Y eso es todo.