Inferencia de Proporciones
¿Cómo resuelvo esto?
Suponga que selecciona una muestra al azar de 40 infantes y que la probabilidad de un infante pese al menos 2,500 gr es .15
a) para una muestra de tamaño 40 cual es la probabilidad de que 4 o menos infantes pesen al menos 2,500 gr. Calcule la probabilidad binomial exacta.
b) Utilizando la aproximación normal a la distribución binomial, estime la probabilidad de que 4 o menos infantes pesen a lo sumo 2,500 gr
c) ¿Proveen estos métodos resultados consistentes?
Suponga que selecciona una muestra al azar de 40 infantes y que la probabilidad de un infante pese al menos 2,500 gr es .15
a) para una muestra de tamaño 40 cual es la probabilidad de que 4 o menos infantes pesen al menos 2,500 gr. Calcule la probabilidad binomial exacta.
b) Utilizando la aproximación normal a la distribución binomial, estime la probabilidad de que 4 o menos infantes pesen a lo sumo 2,500 gr
c) ¿Proveen estos métodos resultados consistentes?
Respuesta de mikel1970
1
Este es un claro ejemplo de distribuciones binomiales y su aproximación mediante distribuciones normales
Veamos en que consiste una distribución binomial
Hacemos un experimento que puede salir o no salir. Llamaremos
p--->Posibilidad de que salga
q=1-p--->Posibilidad de que no salga
Realizamos el experimento n veces. Entonces la teoría nos dice que la probabilidad de que el experimento salga que veces es
P(x=k)=(n k)*p^k*q^(n-k)
siendo
(n k)=n!/[k!*(n-k)!
Puedes ver esta página
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tdbinomial.htm
Veamos nuestro caso
p=0.15--->Probabilidad de que el infante pese más de 2500 gr
q=1-0.15=0.85---->Probabilidad de que pese menos de 2500 gr
Repetimos el experimento en 40 infantes
n=40
Queremos saber la probabilidad de acertar 4 veces 0 menos, o sea
P(x<=4)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)
O sea
P(x=0)=(40 0)*0.15^0*0.85^40=0.0015
P(x=1)=(40 1)*0.15^1*0.85^39=0.011
P(x=2)=(40 2)*0.15^2*0.85^38=0.0365
P(x=3)=(40 3)*0.15^3*0.85^37=0.0816
P(x=4)=(40 4)*0.15^4*0.85^36=0.133
Luego
P(x<=4)=0.263=26.3%
Puedes hacer los cálculos en esta página
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm
Veamos qué ocurre con la segunda parte e incluso destacaremos un error presente en muchos libros
La teoría nos dice que si n es grande y p y que están próximos a 0.5, entonces podemos aproximar la distribución binomial a una normal donde
m-->media=n*p
d--->desviación típica=sqrt(n*p*q)
En nuestro caso
m=40*0.15=6
d=sqrt(n*p*q)=sqrt(40*0.15*0.85)=sqrt(5.1)=2.258
Suele decirse que la aproximación es buena si n*p>=5 y n*q>=5
En nuestro caso
n*p=40*0.15=6
n*q=40*0.85=34
luego cumple el criterio ( aunque veremos que la aproximación no es buena)
Así pues haciendo la distribución normal para esos valores y tipificando
P(x<=4)=P(z<=(x-m)/d)=P(z<=(4-6)/2.258)=
P(z<=-0.89)
Por simetría
P(z<=-0.89)=P(z>=0.89)=1-P(z<=0.89)
Buscando en una tabla de Gauss como la que hay en
P(x<=4)=1-0.8133=0.1867=18.67%
Como se aprecia, la aproximación del 18.67% no es muy buena en comparación con el dato real 26.3%, a pesar de que los libros indiquen que el criterio escogido es bueno.
Tal vez es eso lo que quieren que respondas en la pregunta c), que la aproximación normal no es muy buena, debido a que ni p ni que están próximos a 0.5
De todas formas, la teoría nos dice que para mejorar la aproximación sumemeos 0.5 al valor, o sea
P(x<=4.5)=P(z<=(4.5-6)/2.258)=
P(z<=-0.66)=P(z>=0.66)=1-P(z<=0.66)=1-0.7454=25.46%
Y esta vez si es una aproximación buena
Veamos en que consiste una distribución binomial
Hacemos un experimento que puede salir o no salir. Llamaremos
p--->Posibilidad de que salga
q=1-p--->Posibilidad de que no salga
Realizamos el experimento n veces. Entonces la teoría nos dice que la probabilidad de que el experimento salga que veces es
P(x=k)=(n k)*p^k*q^(n-k)
siendo
(n k)=n!/[k!*(n-k)!
Puedes ver esta página
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tdbinomial.htm
Veamos nuestro caso
p=0.15--->Probabilidad de que el infante pese más de 2500 gr
q=1-0.15=0.85---->Probabilidad de que pese menos de 2500 gr
Repetimos el experimento en 40 infantes
n=40
Queremos saber la probabilidad de acertar 4 veces 0 menos, o sea
P(x<=4)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)
O sea
P(x=0)=(40 0)*0.15^0*0.85^40=0.0015
P(x=1)=(40 1)*0.15^1*0.85^39=0.011
P(x=2)=(40 2)*0.15^2*0.85^38=0.0365
P(x=3)=(40 3)*0.15^3*0.85^37=0.0816
P(x=4)=(40 4)*0.15^4*0.85^36=0.133
Luego
P(x<=4)=0.263=26.3%
Puedes hacer los cálculos en esta página
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm
Veamos qué ocurre con la segunda parte e incluso destacaremos un error presente en muchos libros
La teoría nos dice que si n es grande y p y que están próximos a 0.5, entonces podemos aproximar la distribución binomial a una normal donde
m-->media=n*p
d--->desviación típica=sqrt(n*p*q)
En nuestro caso
m=40*0.15=6
d=sqrt(n*p*q)=sqrt(40*0.15*0.85)=sqrt(5.1)=2.258
Suele decirse que la aproximación es buena si n*p>=5 y n*q>=5
En nuestro caso
n*p=40*0.15=6
n*q=40*0.85=34
luego cumple el criterio ( aunque veremos que la aproximación no es buena)
Así pues haciendo la distribución normal para esos valores y tipificando
P(x<=4)=P(z<=(x-m)/d)=P(z<=(4-6)/2.258)=
P(z<=-0.89)
Por simetría
P(z<=-0.89)=P(z>=0.89)=1-P(z<=0.89)
Buscando en una tabla de Gauss como la que hay en
P(x<=4)=1-0.8133=0.1867=18.67%
Como se aprecia, la aproximación del 18.67% no es muy buena en comparación con el dato real 26.3%, a pesar de que los libros indiquen que el criterio escogido es bueno.
Tal vez es eso lo que quieren que respondas en la pregunta c), que la aproximación normal no es muy buena, debido a que ni p ni que están próximos a 0.5
De todas formas, la teoría nos dice que para mejorar la aproximación sumemeos 0.5 al valor, o sea
P(x<=4.5)=P(z<=(4.5-6)/2.258)=
P(z<=-0.66)=P(z>=0.66)=1-P(z<=0.66)=1-0.7454=25.46%
Y esta vez si es una aproximación buena
