Sesgo y error cuadrático medio de estimadores puntuales. 18

En la sección 6.7 nos enseña como calcular la función de densidad del mínimo o máximo de varias variables aleatorias.

Para el mínimo es:

$$\begin{align}&g_{(1)}(y) = n[1-F(y)]^{n-1}f(y)\\ &\\ &\text{Como Y es una uniforme en (0,}\theta)\\ &\\ &f(y)=\frac{1}{\theta}\\ &\\ &F(y)=\frac{y}{\theta}\\ &\\ &g_{(1)}(y)=n\left(1-\frac{y}{\theta}\right)^{n-1}\frac{1}{\theta}=\frac{n(\theta-y)^{n-1}}{\theta^n}\\ &\\ &E(Y_{(1)})=\frac{n}{\theta^n}\int_0^{\theta}y(\theta-y)^{n-1}dy=\\ &\\ &u=y\implies du = dy\\ &dv=(\theta-y)^{n-1}dy\implies v=-\frac{(\theta-y)^n}{n}\\ &\\ &=\frac{n}{\theta^n}\left(-\left[ \frac{y(\theta-y)^n}{n}\right]_0^{\theta} +\int_0^{\theta}\frac{(\theta-y)^n}{n}dy \right)=\\ &\\ &\frac{n}{\theta^n}\left(0-\left[  \frac{(\theta-y)^{n+1}}{n(n+1)}\right]_0^{\theta}  \right)=\\ &\\ &\\ &\frac{n}{\theta^n}·\frac{\theta^{n+1}}{n(n+1)}=\frac{\theta}{n+1}\\ &\\ &\\ &Resumiendo\\ &E(Y_{(1)})= \frac{\theta}{n+1}\\ &\end{align}$$

Y para que el estimador sea insesgado debe tener theta como esperanza. Para ello multiplicaremos el estimador que teníamos por (n+1) y ya está.

Y eso es todo.