Ecuación Cubica
Quisiera que por favor alguien me ayude y me diga cual es la forma de resolver una ecuación cubica de la forma:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
1 respuesta
Respuesta de nlocatel
1
La ecuación no suele verse en colegios, salvo para casos particulares. Acá te paso la solución general, debida a un matemático llamado Cardano.
Por empezar las ecuaciones polinómicas suelen normalizarse para que el primer coeficiente sea 1, con lo que queda la forma
Ec.1 x^3 + ax^2 + bx + c = 0.
Definiendo una nueva variable x' = x-a/3
Se elimina en segundo término(verifícalo), por lo que basta estudiar la solución de la ecuación general:
Ec.2 x^3 + px + q = 0 (te corresponde obtener p y q a partir de a,b y c)
Al definir dos nuevas variables, u y v tal que x = u+v, reemplazando en la ecuación resulta:
u^3+v^3 + (3uv+p)(uv) + q = 0
Esta ec. sólo puede cumplirse si:
1) u^3+v^3 = -q
2) 3uv = -p -> u^3*v^3 = -(p^3)/27
Si recordás la ecuación cuadrática, estas dos relaciones indican que u^3 y v^3 las dos soluciones de la ecuación
y^2 + qy - (p^3)/27 = 0
Entonces:
1) Resolviendo ésta, tendrías los valores de u^3 y v^3. Sacando la raíz cúbica tendrías tres valores para u y tres para v.
2) Como x=u+v, tendrías nueve valores posibles para por, pero sólo tres de ellos verifican la Ec.2, el resto son soluciones extrañas.
3) Por último restaría sumarle a esas soluciones la cantidad a/3, que restamos al principio. Estos números satisfacen la Ec.1.
Espero que la entiendas, y sore todo que te sirva. No es muy potente este editor de texto para escribir ecuaciones.
Por empezar las ecuaciones polinómicas suelen normalizarse para que el primer coeficiente sea 1, con lo que queda la forma
Ec.1 x^3 + ax^2 + bx + c = 0.
Definiendo una nueva variable x' = x-a/3
Se elimina en segundo término(verifícalo), por lo que basta estudiar la solución de la ecuación general:
Ec.2 x^3 + px + q = 0 (te corresponde obtener p y q a partir de a,b y c)
Al definir dos nuevas variables, u y v tal que x = u+v, reemplazando en la ecuación resulta:
u^3+v^3 + (3uv+p)(uv) + q = 0
Esta ec. sólo puede cumplirse si:
1) u^3+v^3 = -q
2) 3uv = -p -> u^3*v^3 = -(p^3)/27
Si recordás la ecuación cuadrática, estas dos relaciones indican que u^3 y v^3 las dos soluciones de la ecuación
y^2 + qy - (p^3)/27 = 0
Entonces:
1) Resolviendo ésta, tendrías los valores de u^3 y v^3. Sacando la raíz cúbica tendrías tres valores para u y tres para v.
2) Como x=u+v, tendrías nueve valores posibles para por, pero sólo tres de ellos verifican la Ec.2, el resto son soluciones extrañas.
3) Por último restaría sumarle a esas soluciones la cantidad a/3, que restamos al principio. Estos números satisfacen la Ec.1.
Espero que la entiendas, y sore todo que te sirva. No es muy potente este editor de texto para escribir ecuaciones.
