Geometria analitica 2 preguntazas
1- Hallar las ecuaciones de las alturas de un triangulo y comprobar que se cortan en el ortocentro
2- hallar las ecuaciones de las bisectrices de los angulos formados por : x + y - 2 = 0 ; x - 7y + 2 = 0
Gracias
2- hallar las ecuaciones de las bisectrices de los angulos formados por : x + y - 2 = 0 ; x - 7y + 2 = 0
Gracias
Respuesta de pceli
1
1.- La altura relativa a un lado de un triángulo es la recta perpendicular al lado y que pasa por el vértice opuesto.
Quieres encontrar las ecuaciones de las alturas del triángulo ABC. Los vértices de este triángulo tienen coordenadas (Ax, Ay); (Bx, By); (Cx, Cy). Encontremos la ecuación relativa al lado BC, para ello aplicaremos la ecuación de una recta conocidos un punto y la pendiente.
Punto conocido (Ax, Ay)
La pendiente del lado BC es m=(Cy-By)/(Cx-Bx)
La pendiente de la recta perpendicular a BC es m'=-1/m
Entonces la ecuación que buscamos es: y=m'(x-Ax)+Ay.
Las ecuaciones para los otros dos lados del triángulo se encuentran de manera similar.
En cuanto a demostrar que se cortan en el ortocentro, no entiendo a que te refieres, ya que por definición, las alturas del triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro. Lo que podrías hacer es probar que efectivamente las tres alturas se cortan en un mismo punto, para ello, puedes esblecer sistemas de ecuaciones con las ecuaciones de las alturas; es decir, si las ecuaciones de las alturas son HA, HB, HC; puedes resolver tres sitemas de ecuaciones:
- HA
HB
- HA
HC
- HB
HC
Los cuales te deben conducir a la misma solución (el ortocentro).
Quieres encontrar las ecuaciones de las alturas del triángulo ABC. Los vértices de este triángulo tienen coordenadas (Ax, Ay); (Bx, By); (Cx, Cy). Encontremos la ecuación relativa al lado BC, para ello aplicaremos la ecuación de una recta conocidos un punto y la pendiente.
Punto conocido (Ax, Ay)
La pendiente del lado BC es m=(Cy-By)/(Cx-Bx)
La pendiente de la recta perpendicular a BC es m'=-1/m
Entonces la ecuación que buscamos es: y=m'(x-Ax)+Ay.
Las ecuaciones para los otros dos lados del triángulo se encuentran de manera similar.
En cuanto a demostrar que se cortan en el ortocentro, no entiendo a que te refieres, ya que por definición, las alturas del triángulo se cortan en un punto que se llama ortocentro. Lo que podrías hacer es probar que efectivamente las tres alturas se cortan en un mismo punto, para ello, puedes esblecer sistemas de ecuaciones con las ecuaciones de las alturas; es decir, si las ecuaciones de las alturas son HA, HB, HC; puedes resolver tres sitemas de ecuaciones:
- HA
HB
- HA
HC
- HB
HC
Los cuales te deben conducir a la misma solución (el ortocentro).
2.- Bisectriz de un ángulo, es la recta que divide a un ángulo en dos regiones iguales.
Se pueden calcular como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de las dos rectas. Es decir, el conjunto de puntos de la bisectriz está dado por
{X(x,y)| d(X,r1)=d(X,r2)}.
Además toma en cuenta que todo par de rectas que se cruzan forman dos ángulos.
La distancia entre un punto
P(X0, y0) y una recta
r:Ax+By+C=0, está dada por
la fórmula siguiente:
d(P,r)=|A*x0+B*x0+C|/raíz(A^2+B^2)
los signos | | representan el valor absoluto
Para tu pregunta, consideremos:
P(x,y): un punto que equidiste de las dos rectas
r1: x+y-2=0
r2: x-7y+2=0
la distancia entre P y cada una de las rectas es:
d1=d(P,r1)=|x+y-2|/raíz(1+1)= |x+y-2|/raíz(2)
d2=d(P,r2)=|x-7y+2|/raíz(1+49)=|x-7y+2|/raíz(50)
Entonces, ya que d1 y d2 deben ser iguales:
(x+y-2)/raíz(2)=(x-7y-2)/raíz(50) ec(1)
ó
(x+y-2)/raíz(2)=-(x-7y-2)/raíz(50) ec(2)
aquí debes recordar que |x|=|y| si y solo si x=y ó x=-y
Las igualdades (1) y (2) proporcionan entonces las ecuaciones de las bisectrices
b1 y b2 de los ángulos que forman las rectas r1 y r2, así:
en la igualdad (1):(raíz(50)/raíz(2))*(x+y-2)=(x-7y+2)
desarrollando:
5x+5y-10-x+7y-2=0
4x+12y-12=0
x+3y-3=0 es la ecuación de la primera bisectriz (b1)
en la igualdad (2): (raíz(50)/raíz(2))*(x+y-2)=-(x-7y+2)
desarrollando:
5x+5y-10+x-7y+2=0
6x-2y-8=0
3x-2y-4=0 es la ecuación de la segunda bisectriz (b2)
Espero no haberme equivocado en ningún cálculo. Házmelo saber si es así.
Cuéntame si tienes alguna duda.
Se pueden calcular como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de las dos rectas. Es decir, el conjunto de puntos de la bisectriz está dado por
{X(x,y)| d(X,r1)=d(X,r2)}.
Además toma en cuenta que todo par de rectas que se cruzan forman dos ángulos.
La distancia entre un punto
P(X0, y0) y una recta
r:Ax+By+C=0, está dada por
la fórmula siguiente:
d(P,r)=|A*x0+B*x0+C|/raíz(A^2+B^2)
los signos | | representan el valor absoluto
Para tu pregunta, consideremos:
P(x,y): un punto que equidiste de las dos rectas
r1: x+y-2=0
r2: x-7y+2=0
la distancia entre P y cada una de las rectas es:
d1=d(P,r1)=|x+y-2|/raíz(1+1)= |x+y-2|/raíz(2)
d2=d(P,r2)=|x-7y+2|/raíz(1+49)=|x-7y+2|/raíz(50)
Entonces, ya que d1 y d2 deben ser iguales:
(x+y-2)/raíz(2)=(x-7y-2)/raíz(50) ec(1)
ó
(x+y-2)/raíz(2)=-(x-7y-2)/raíz(50) ec(2)
aquí debes recordar que |x|=|y| si y solo si x=y ó x=-y
Las igualdades (1) y (2) proporcionan entonces las ecuaciones de las bisectrices
b1 y b2 de los ángulos que forman las rectas r1 y r2, así:
en la igualdad (1):(raíz(50)/raíz(2))*(x+y-2)=(x-7y+2)
desarrollando:
5x+5y-10-x+7y-2=0
4x+12y-12=0
x+3y-3=0 es la ecuación de la primera bisectriz (b1)
en la igualdad (2): (raíz(50)/raíz(2))*(x+y-2)=-(x-7y+2)
desarrollando:
5x+5y-10+x-7y+2=0
6x-2y-8=0
3x-2y-4=0 es la ecuación de la segunda bisectriz (b2)
Espero no haberme equivocado en ningún cálculo. Házmelo saber si es así.
Cuéntame si tienes alguna duda.
