Ayuda sobre un ejercicio de series numéricas usando el criterio de D'alambert, Raabe o Cauchy.
Hola Mike,
Si es posible quisiera pedirte ayuda para resolver un ejercicio de series numéricas.
Debo decir si la serie es convergente o divergente usando el criterio de D´alambert, Raabe o Cauchy.
La serie es la siguiente:
an= 1 / n * raiz cuadrada de ( 3n^2+2 )
Te aclaro esta expresión por si no se entiende.
En el numerador hay solo un 1.
En el denominador hay un producto entre n y una raíz. Dentro de la raíz cuadrada aparece 3n^2 + 2 (3 por n al cuadrado, + 2 )
Desde ya agradezco tu tiempo y ayuda.
Un saludo.
Si es posible quisiera pedirte ayuda para resolver un ejercicio de series numéricas.
Debo decir si la serie es convergente o divergente usando el criterio de D´alambert, Raabe o Cauchy.
La serie es la siguiente:
an= 1 / n * raiz cuadrada de ( 3n^2+2 )
Te aclaro esta expresión por si no se entiende.
En el numerador hay solo un 1.
En el denominador hay un producto entre n y una raíz. Dentro de la raíz cuadrada aparece 3n^2 + 2 (3 por n al cuadrado, + 2 )
Desde ya agradezco tu tiempo y ayuda.
Un saludo.
Respuesta de mikel1970
1
Por comparación por el criterio de Pringsheim. La serie es del tipo
an=1/[n*raiz[3*n^2]=1/raiz3 * 1/n^2
Y es convergente. De todas formas apliquemos el criterio de Raabe. El de D'Alembert no nos sirve, pues
lim(an+1/an) = 1/[(n+1)*raiz[3*(n+1)^2+2] * n * raiz[3n^2+2]=
lim n/(n+1) * raiz[3*n^2+2]/raiz[3*^(n+1)^2+2]=1
y estamo en el caso de duda.
Aplicando el criterio de Raabe:
lim n*(1-an+1/an)=
lim n*[1- n*raiz[3*n^2+2]/[(n+1)*raiz[3*(n+1)^2+2]]=
lim n*[1-n*raiz[3*n^2+2]/(n+1)*raiz[3*(n^2+2*n+1)+2]=
lim n*[1-n*raiz[3*n^2+2]/(n+1)*raiz[3*n^2+6*n+3+2]=
lim n*[1-n*raiz[3*n^2+2]/(n+1)*raiz[3*n^2+6*n+3]=
lim n*[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)-n*raiz(3*n^2+2)]/[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)]
Multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador, y separando el numerador del denominador para apreciarlo mejor:
Numerador
n*[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)-n*raiz(3*n^2+2)]*[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)+n*raiz(3*n^2+2)]=
n*[(n+1)^2*(3*n^2+6*n+3)-n^2*(3*n^2+2)]=
n*[(n^2+2*n+1)*(3*n^2+6*n+3)-3*n^4-2*n^2]=
n*(3*n^4+6*n^3+3*n^2+6*n^3+12*n^2+6*n+3*n^2+6*n+3-3*n^4-2*n^2)=
n*(12n^3+18*n^2+12*n+3)
y esto tiende a
12*n^4
Denominador
(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)*[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)+n*raiz(3*n^2+2)]
que tiende a
n*raiz3*n*(n*raiz3*n+n*raiz3*n)
raiz3*n^2*2*raiz3*n^2=
6*n^4
Así pues el limite nos queda
lim n*(1-an+1/an)=
lim 12n^4/6n^4=2
Y como lim>1, según el criterio de Raabe es convergente.
He hecho la suma con ayuda del ordenador y me queda
Sum=0.80514
an=1/[n*raiz[3*n^2]=1/raiz3 * 1/n^2
Y es convergente. De todas formas apliquemos el criterio de Raabe. El de D'Alembert no nos sirve, pues
lim(an+1/an) = 1/[(n+1)*raiz[3*(n+1)^2+2] * n * raiz[3n^2+2]=
lim n/(n+1) * raiz[3*n^2+2]/raiz[3*^(n+1)^2+2]=1
y estamo en el caso de duda.
Aplicando el criterio de Raabe:
lim n*(1-an+1/an)=
lim n*[1- n*raiz[3*n^2+2]/[(n+1)*raiz[3*(n+1)^2+2]]=
lim n*[1-n*raiz[3*n^2+2]/(n+1)*raiz[3*(n^2+2*n+1)+2]=
lim n*[1-n*raiz[3*n^2+2]/(n+1)*raiz[3*n^2+6*n+3+2]=
lim n*[1-n*raiz[3*n^2+2]/(n+1)*raiz[3*n^2+6*n+3]=
lim n*[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)-n*raiz(3*n^2+2)]/[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)]
Multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador, y separando el numerador del denominador para apreciarlo mejor:
Numerador
n*[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)-n*raiz(3*n^2+2)]*[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)+n*raiz(3*n^2+2)]=
n*[(n+1)^2*(3*n^2+6*n+3)-n^2*(3*n^2+2)]=
n*[(n^2+2*n+1)*(3*n^2+6*n+3)-3*n^4-2*n^2]=
n*(3*n^4+6*n^3+3*n^2+6*n^3+12*n^2+6*n+3*n^2+6*n+3-3*n^4-2*n^2)=
n*(12n^3+18*n^2+12*n+3)
y esto tiende a
12*n^4
Denominador
(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)*[(n+1)*raiz(3*n^2+6*n+3)+n*raiz(3*n^2+2)]
que tiende a
n*raiz3*n*(n*raiz3*n+n*raiz3*n)
raiz3*n^2*2*raiz3*n^2=
6*n^4
Así pues el limite nos queda
lim n*(1-an+1/an)=
lim 12n^4/6n^4=2
Y como lim>1, según el criterio de Raabe es convergente.
He hecho la suma con ayuda del ordenador y me queda
Sum=0.80514
