Como Demostrar por definición que lim z->z0 sqr(z)

Dado un epsilon>0 deberemos encontrar un delta>0 tal que si

0 < |z - zo| < delta se cumpla |sqrt(z) - sqrt(zo)| < epsilon

En estas demostraciones se toma lo que tiene que ser menor que epsilon y se intenta relacionarlo con lo que es menor que delta

$$\begin{align}&|\sqrt z - \sqrt{z_0}|= \frac{|\sqrt z - \sqrt{z_0}||\sqrt z + \sqrt{z_0}|}{|\sqrt z + \sqrt{z_0}|}=\\ &\\ &\frac{|(\sqrt z - \sqrt{z_0})(\sqrt z + \sqrt{z_0})|}{\sqrt z + \sqrt{z_0}}=\\ &\\ &\\ &\frac{|z-z_0|}{\sqrt z+\sqrt{z_0}}\le \frac{|z-z_0|}{\sqrt{z_0}}\lt \epsilon\\ &\\ &\\ &|z-z_0|\lt \epsilon \sqrt{z_0}\\ &\\ &\text{luego tomando }\delta=\epsilon \sqrt{z_0} \text{ tendremos}\\ &\\ &|\sqrt z-\sqrt{z_0}|\le \frac{|z-z_0|}{\sqrt{z_0}}\lt \frac{\delta}{\sqrt{z_0}}=\frac{\epsilon \sqrt{z_0}}{\sqrt{z_0}}=\epsilon\\ &\\ &\\ &\text{resumiendo}\\ &\\ &|\sqrt z-\sqrt{z_0}|<\epsilon\\ &\end{align}$$

Luego sqrt(z0) es el límite de sqrt(z) cuando z tiende a z0

Y eso es todo.