Ayuda con esta demostración
Demuestra que cualquier colección de n+1 vectores en Rn forma un conjunto linealmente dependiente
1 Respuesta
La complicación no es tanto la pregunta sino que se puede utilizar en la demostración. Y eso es algo que solo tu puedes saber pues depende del orden. No es lo mismo que estés al principio del todo del tema de los espacios vectoriales que cuando ya se hayan dado unos cuantos teoremas, se hayan dado ya las ecuaciones lineales, etc. Por eso la respuesta puede ser desde un obviedad a algo bastante complicado.
Todas las bases tienen el mismo número de elementos. Y el número de elementos de una base es el mínimo número de vectores capaces de generar el espacio vectorial y el máximo número posible de vectores independientes. Como la base de Rn tiene n elementos, cualquier número superior de vectores no puede ser un sistema libre.
Y a te digo que la demostración depende de la teoría que se haya dado con anterioridad. Si me dices como hay que hacerlo lo intentaré de esa forma.
Gracias por responder ..me gustaría la demostración más simple no conozco muchos teoremas
Si la demostración más simple es la que te he dicho. Si n es la dimensión del espacio, los sistemas de libres de mayor tamaño posible son de n elementos. Lo que pasa es que la demostración de eso no suele darse en estudios no superiores, simplemente dicen que es así y se usa
Veamos de otra forma. Si los n+1 son libres, con más motivo lo son n de ellos. Tomamos los n primeros. Sean ai los escalares y vi los vectores. Y por ser libres se cumple que si:
a1·v1 + a2·v2 + ...+ an·vn = 0 implica a1=a2=...=an=0
En realidad los vectores tienen n componentes, la operación es
a1(v11, v12, ...v1n) + a2(v21, ..., v2n) + ...+ an(vn1, ..., vnn) = (0,0,...0)
Si colocamos los vectores por columnas tendremos:
|V11 v21 ... vn1| |a1| |0| |v12 v22 ... vn2| |a2| |0| | . . ... . | x |· | = |0| | . . ... . | |· | |0| |v1n v2n ... vnn| |an| |0|
Con lo que (a1,a2, ..., an) es la solución de un sistema de ecuaciones homogéneas y la única solución es (0,0,...,0)
Cuando un sistema de ecuaciones homogéneas tiene (0,0, 0) por única solución la matriz tiene rango máximo.
Ahora tomemos el vector n+1, por la dificultad de escribir subíndice con suma y después otro vamos a llamarlo r en vez de vn+1. Por supuesto que r no es el vector niulo, ya que sería dependiente.
Ahora creamos el sistema de ecuaciones igual que antes pero poniendo r en lugar de los ceros
|V11 v21 ... vn1| |a1| |r1| |v12 v22 ... vn2| |a2| |r2| | . . ... . | x |· | = |· | | . . ... . | |· | |· | |v1n v2n ... vnn| |an| |rn|
La matriz de coeficientes tenía rango máximo y la ampliada también, luego la solución es única y no puede ser (0,0,0, ..., 0) porque algún ri era distinto de cero.
Entonces eso quiere decir que hemos exprésado el vector n+1 como una combinación lineal de los anteriores con algún ai distinto de cero, luego los n+1 vectores no son independientes.
Esta demostración te sirve si has dado matrices y resolución de ecuaciones a través de ellas.
