Pregunta 7 de matemática 3
Hola valeroasm!
Evalúa, la integral de superficie $$[1/sqrt(2az-z^2),donde S es la porción de la superficie
S1:x^2 +y^2 +z^2=2az que esta dentro del cilindro S2:x^2 +y^2=ay.
Necesito urgente la respuesta a esta pregunta, si es muy larga, solo menciona las cosas puntuales y la expresión resultante, si me das una suma de integrales muy extensa preferiría el valor de la suma de las integrales(en el caso posible).
1 respuesta
En el libro de James Stewart pag 1083 tienes la fórmula para resolver la integral de superficie.
De la ecuación de S1 obtenemos
2az - z^2 = x^2 + y^2
Con ello la funcion en términos de x e y queda
f(x,y,z(x,y)) = 1/sqrt(x^2+y^2)
Y para calcular las parciales hay que despejar z
z^2 -2az +x^2+y^2=0
z = [2a +- sqrt(4a^2 - 4x^2 - 4y^2)] / 2 = a +-sqrt(a^2-x^2-y^2)
$$\begin{align}&\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\mp \;x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\\ &\\ &\left(\frac{\partial{z}}{\partial x}\right)^2=\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}\\ &\\ &\\ &\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\mp \;y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\\ &\\ &\left(\frac{\partial{z}}{\partial y}\right)^2=\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\sqrt{\left(\frac{\partial{z}}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial{z}}{\partial y}\right)^2+1}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{x^2+y^2+a^2-x^2-y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\\ &\\ &\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\\ &\\ &\text{Y la integral de superficie queda}\\ &\\ &\iint_D \frac{dA}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\end{align}$$la proyección de la superficie sobre el plano xy es el interior de ese cilindro. Y el contorno del cilindro lo podemos expresar asi mediante dos funciones de y
x = +- sqrt(ay-y^2)
Los valores de y deben ser los que hacen positiva la raíz
ay -y^2 >= 0
y(a-y) >=0
las soluciones son
0<=y <=a Si a es positivo
-a<=y<=0 Si a e negativo
Suponiendo a positivo queda esta hermosa integral doble
$$\int_0^a \int_{-\sqrt{ay-y^2}}^{\sqrt{ay-y^2}}\frac{dxdy}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$$Que es una integral que no tiene solución expresable como funciones elementales. Luego mal la vamos a poder calcular. El problema se ha salido de lo común.
Y eso es todo.
Se me olvido poner la constante a en la integral, la podemos sacar fuera y la integral sera a por la integral que sigue siendo inintegrable.
No entiendo cuando dices inintegrable, que osea no tiene solución¡¡¡¡¡¡¡¿¿¿?,el hecho que la calculadora no arroje una respuesta eso no implica que el problema sea engorroso, y donde quedo las habilidades para integrar en un curso de mate 2, el problema parece fácil , el problema solo seria los limites, ojo no estoy menospreciando su trabajo, pero ya estabas apunto de terminarlo, y como bien dije lo que me importa no es la integral expresada sino hallar la expresión matemática y el valor numérico aprox.
Saludos
Las matemáticas no solo consisten en calcular lo difícil, sino en averiguar si es posible o es imposible. La funciones con raíces cuadradas son "inintegrables" el 99% de la s veces. Y cuando digo "inintegrables" me refiero a la larga frase "que no tienen función primitiva expresable como combinación de funciones elementales". Una función, aunque tenga una expresión simple no significa que tenga primitiva expresable como ...
Lo había dejado, hay problemas que exceden lo razonable o la preparación que yo tengo. Es como si tengo que buscar el número entero que multiplicado por dos me dé siete, es imposible.
La integral númerica hecha con el programa Derive
para a = 1 es 2.467400624
para a = 2 es 2.467400624
para a= 0.5 es 2.467400624
Y no hago más porque cada número de eos le lleva varios minutos de cálculos al ordenador.
Por lo visto es independiente del valor de a, quién lo diría. Y no le busques explicación al valor que da, como te decía no proviene de un función primitiva expresable como...
Respecto a lo de si es convergente o no la integral impropia, (porque la integral es impropia, tiende a infinito en varios puntos del dominio) no puedo asegurarte nada, si el programa da un valor finito después de calcular durante tanto tiempo supongo que tiene razón.
Sobre las habilidades para integrar en un curso de mate 2 tendrías que decirme cuáles son esas "habilidades", es que parece como si fuesen milagrosas. Las habilidades llegan hasta donde pueden llegar, hay problemas que superan esas habilidades elementales.
