Ejercicio sobre la escala z y la curva normal

1)
a) El puntaje z es la puntuación equivalente en una normal estándar Z ~ N(0,1)
Para obtener una N(01) se resta la media y se divide por la desviación
Z = (X-100)/20
Con lo cual el puntaje z de María fue
(110-100)/20 = 10/20 = 1/2 = 0.5
y el de Pedro fue
(90-100) / 20 = -10/20 = -1/2 = -0.5

b) El rango percentil es el porcentaje de puntuaciones inferiores.
Si buscamos en la tabla de la N(0,1) el valor de los puntajes z tendremos la probabilidad de haber tenido una puntuación menor, basta con multiplicar por 100 y ya tienes el rango percentil

Para María
P(z<=0.5) = 0.6915
Rango Percentil de María = 69.15%

Para Pedro.
Por simetría a la izquierda de -0.5 hay tanto como a la derecha de 0.5
P(z <=-0.5) = 1 - P(z <= 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085
Rango Percentil de Pedro = 30.85%

c) Aplicamos los rangos percentiles calculados a los 150 alumnos que hay

Por debajo de María hay
69.15% de 150 = 69.15 · 150 / 100 = 103.725
Digamos que hay 103 por abajo, luego está ella y por arriba hay 150-104 = 46

Y por debajo de Pedro hay
30.85% de 150 = 30.85 · 150 / 100 = 46.275
Digamos que hay 46 por abajo, luego está él y hay 103 por arriba.

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2) Por encima hubo
30% de 150 = 30 · 150 / 100 = 45
Luego por debajo hubo
150 - 45 - 1 = 104

Y el rango percentil de 104 sobre 150 es
(104 / 150) 100 = 69.33 %

El puntaje z será el valor que en tabla dé el 69,33% por debajo, es decir, que dé 69.33.
Tenemos
Tabla(0.5) = 0.6915
Tabla(0.51) = 0.6950
Para 0.6933 hay que añadir 0.0018 cuando el intervalo es de 0.0035
18/35 = 0.514
Luego corresponde a 0.50514
El puntaje z es 0.50514

Y creo que ya está todo, aunque para resolverlo tuve que hacerlo en otro orden del que pedían. EEspero que te sirva y lo hayas entendido.