Distancia entre vectores

Preliminares:
Por hipótesis {u1,u2,u3} en conjunto ortonormal, luego <ui,uj> con i distinto de j es 0 (i,j=1,2,3). Y también llui ll=1 lo cual implica que ll ui ll2=1 con i=1,2,3.
Para este tipo de problemas es recomendable usar base ortonormal del subespacio.
Para calcular la distancia se necesita un vector que pertenezca al subespacio.
1° Encontrar base ortogonal de M, usando proceso de Gramm-Schmidt:
x1=u1+u3
x2=u2- <u2,xi> xi
llxill2
=u2- <u2,u1+u3> (u1+u3)
<u1+u3,u1+u3>
=u2- <u2,u1>+<u2,u3> (u1+u3)
<u1,u1>+<u1,u3>+<u3,u1>+<u3,u3>
=u2-0*(u1+u3)
x2=u2
X={u1+u3,u2} base ortogonal de M
llu1+u3ll=(<u1+u3,u1+u3>)1/2
=(<u1,u1>+<u1,u3>+<u3,u1>+<u3,u3>)1/2
=(llu1ll2+0+0+llu3ll2)1/2
=2elevado a 1/2
llu2ll=1
XX={(u1+u3)/21/2,u2} base ortonormal de M
2° busco le vector w perteneciente a M, donde w es combinación lineal de XX base ortonormal de M.
W=sumatoria de 1 a 2 de <u1-u2,XXi> *XXi
llXXill2
=<u1-u2,(u1+u3)/21/2> * (u1+u3)/21/2 + <u1-u2,u2 > * u2 <(u1+u3)/21/2,(u1+u3)/21/2 <u2,u2>
=2-1/2(<u1,u1>+<u1,u3>-<u2,u1>-<u2,u3>) * (u1+u3)/21/2 +
2-1(<u1,u1>+<u1,u3>+<u3,u1>+<u3,u3>)
<u1,u2>-<u2,u2> * u2
<u2,u2>
w=u1-2u2+u3
2
Como la distancia buscada es igual a ll(u1-u2)-c*wll
c=constante de fourier
c= <(u1-u2),w>
llwll2
= <u1-u2,(u1-2u2+u3)/2>
<(u1-2u2+u3)/2,(u1-2u2+u3)/2>
=1
d(u1-u2,M)= ll(u1-u2)-(u1/2-u2+u3/2)ll
=llu1/2-u3/2ll
=l1/2l*llu1-u3ll
=1/2*(<u1-u3,u1-u3>)1/2
=raiz de 2/2